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第六章综合练习题 - 通过练习巩固三角学核心概念和解题技能

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(AC = 7\)，\(\angle BAC = 60^\circ\)，则\(BC\)的长为（）

A. \( \sqrt{39} \)

B. \( \sqrt{49} \)

C. \( \sqrt{61} \)

D. \( 8 \)

2. 若\(\triangle ABC\)的三边为\(3\)、\(4\)、\(5\)，则最大角的余弦值为（）

A. \( 0 \)

B. \( \frac{1}{4} \)

C. \( \frac{3}{5} \)

D. \( \frac{4}{5} \)

3. 在\(\triangle ABC\)中，\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(\angle A = 30^\circ\)，则\(\angle B\)的可能值为（）

A. 只有\(60^\circ\)

B. 只有\(120^\circ\)

C. \(60^\circ\)或\(120^\circ\)

D. 无解

4. 函数\(y = \sin 2x\)的周期是（）

A. \( 90^\circ \)

B. \( 180^\circ \)

C. \( 360^\circ \)

D. \( 720^\circ \)

5. 函数\(y = \cos(x + 30^\circ)\)的图像是由\(y = \cos x\)的图像（）

A. 向左平移\(30^\circ\)

B. 向右平移\(30^\circ\)

C. 向上平移\(30^\circ\)

D. 向下平移\(30^\circ\)

二、填空题（每题5分，共20分）

6. 在\(\triangle ABC\)中，\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)，则\(\cos C = \)________。

7. 三角形两边为\(6\ \text{cm}\)和\(8\ \text{cm}\)，夹角为\(60^\circ\)，则面积为________\(\text{cm}^2\)。

8. 已知\(\sin \theta = \sin 40^\circ\)，且\(0^\circ < \theta < 180^\circ\)，则\(\theta\)的另一个解为________。

9. 函数\(y = 3\cos x - 1\)的最大值为，最小值为。

三、解答题（共60分）

10. （10分）在\(\triangle ABC\)中，\(BC = 8\)，\(AC = 5\)，\(\angle ACB = 120^\circ\)，求\(AB\)的长和\(\triangle ABC\)的面积。

11. （12分）在\(\triangle PQR\)中，\(PQ = 7\)，\(PR = 5\)，\(\angle P = 60^\circ\)：

• 求\(QR\)的长；

• 求\(\angle Q\)的大小（保留3位有效数字）；

• 求\(\triangle PQR\)的面积。

12. （12分）已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = 4\)，\(BC = 5\)，\(\angle A = 30^\circ\)，判断\(\angle C\)是否有两解，若有，求出两解的度数（保留3位有效数字）；若没有，说明理由。

13. （13分）

• 画出\(y = \sin(x - 60^\circ)\)在\(0^\circ \leq x \leq 360^\circ\)的图像，标出与\(x\)-轴、\(y\)-轴的交点；

• 利用图像，求\(\sin(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\)在\(0^\circ \leq x \leq 360^\circ\)内的解。

14. （13分）某公园有一个三角形花坛，两边长为\(10\ \text{m}\)和\(12\ \text{m}\)，夹角的正弦值为\(0.8\)：

• 求这个夹角的可能值；

• 分别计算两种夹角下，花坛的面积和第三边的长度。

答案与解析（供参考）

一、选择题

1. A

解析：由余弦定理，\(BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 39\)，故\(BC = \sqrt{39}\)。

2. A

解析：三边为\(3\)、\(4\)、\(5\)的三角形是直角三角形，最大角为\(90^\circ\)，余弦值为\(0\)。

3. C

解析：由正弦定理得\(\sin B = \frac{4 \sin 30^\circ}{3} \approx 0.6667\)，故\(\angle B \approx 41.8^\circ\)或\(138.2^\circ\)，且均满足三角形边角关系，有两解。

4. B

解析：\(y = \sin \omega x\)的周期为\(\frac{360^\circ}{|\omega|}\)，\(\omega = 2\)时周期为\(180^\circ\)。

5. A

解析："左加右减"，\(y = \cos(x + 30^\circ)\)是\(y = \cos x\)向左平移\(30^\circ\)。

二、填空题

6. \(-\frac{1}{4}\)

解析：由余弦定理，\(\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3} = -\frac{1}{4}\)。

7. \(12\sqrt{3}\)

解析：面积\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 60^\circ = 12\sqrt{3}\)。

8. \(140^\circ\)

解析：由\(\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)\)，得另一个解为\(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\)。

9. \(2\)；\(-4\)

解析：\(\cos x \in [-1, 1]\)，故\(3\cos x - 1 \in [-4, 2]\)，最大值\(2\)，最小值\(-4\)。

三、解答题

10. 解：

• \(AB\)：由余弦定理，\(AB^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 120^\circ = 129\)，故\(AB = \sqrt{129} \approx 11.36\)。

• 面积：\(\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 120^\circ = 10\sqrt{3} \approx 17.32\)。

11. 解：

• \(QR\)：由余弦定理，\(QR^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos 60^\circ = 39\)，故\(QR = \sqrt{39} \approx 6.245\)。

• \(\angle Q\)：由正弦定理，\(\sin Q = \frac{5 \sin 60^\circ}{\sqrt{39}} \approx 0.693\)，故\(\angle Q \approx 43.9^\circ\)（因\(QR < PQ\)，取锐角解）。

• 面积：\(\text{Area} = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \sin 60^\circ = \frac{35\sqrt{3}}{2} \approx 30.31\)。

12. 解：

由正弦定理，\(\sin C = \frac{4 \sin 30^\circ}{5} = 0.4\)。因\(AB < BC\)，故\(\angle C < \angle A = 30^\circ\)，\(\angle C\)只有锐角解\(\approx 23.6^\circ\)，无两解。

13. 解：

• 图像：\(y = \sin(x - 60^\circ)\)是\(y = \sin x\)右移\(60^\circ\)，与\(x\)-轴交点为\((60^\circ, 0)\)、\((240^\circ, 0)\)；与\(y\)-轴交点为\((0, -\frac{\sqrt{3}}{2})\)。

• 解：\(x - 60^\circ = 30^\circ\)或\(150^\circ\)（在\(0^\circ \leq x \leq 360^\circ\)内），故\(x = 90^\circ\)、\(210^\circ\)。

14. 解：

• 夹角：\(\theta = \arcsin 0.8 \approx 53.1^\circ\) 或 \(180^\circ - 53.1^\circ = 126.9^\circ\)。

• 情况1（\(\theta = 53.1^\circ\)）：面积\(\approx 48\ \text{m}^2\)；第三边\(c = 10\ \text{m}\)（由余弦定理）。

• 情况2（\(\theta = 126.9^\circ\)）：面积\(\approx 48\ \text{m}^2\)；第三边\(c = \sqrt{388} \approx 19.7\ \text{m}\)（由余弦定理）。