章节复习：三角形与三角函数图像

第六章综合复习 - 解三角形工具与三角函数图像特征

模块一：解三角形（余弦定理、正弦定理、面积公式）

核心工具：利用余弦定理、正弦定理、三角形面积公式（两边及夹角），解决三角形中"未知边/角/面积"的问题。

1. 余弦定理（The Cosine Rule）

作用：

已知两边及夹角，求第三边；
已知三边，求任意角。

公式：

求边：

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

（边 \( a \) 对应角 \( A \)，字母可互换）；

求角：

\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

（角 \( A \) 对应边 \( a \)，字母可互换）。

例题

在 \( \triangle ABC \) 中，\( AC = 6.5\ \text{cm} \)，\( BC = 8.7\ \text{cm} \)，\( \angle ACB = 100^\circ \)，求 \( AB \)。

解：设 \( AB = c \)，\( AC = b = 6.5 \)，\( BC = a = 8.7 \)，夹角 \( C = 100^\circ \)。

代入"求边公式"：

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 8.7^2 + 6.5^2 - 2 \times 8.7 \times 6.5 \times \cos 100^\circ \]

计算得 \( c \approx 11.7\ \text{cm} \)（保留3位有效数字）。

2. 正弦定理（The Sine Rule）

作用：

已知两角及一边，求其他边；
已知两边及其中一边的对角，求角（注意"两解"情况：\( \sin \theta = \sin(180^\circ - \theta) \)，角可能为"锐角"或"钝角"）。

公式：

求边：

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

；

求角：

\[ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} \]

。

"两解"例题

在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = 4\ \text{cm} \)，\( AC = 3\ \text{cm} \)，\( \angle ABC = 44^\circ \)，求 \( \angle ACB \) 的可能值。

解：设 \( AB = c = 4 \)，\( AC = b = 3 \)，\( \angle B = 44^\circ \)，求 \( \angle C \)。

由正弦定理：\( \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin B}{b} \)，得 \( \sin C = \frac{4 \sin 44^\circ}{3} \approx 0.926 \)。

因此，\( \angle C \approx 67.9^\circ \)（锐角）或 \( 180^\circ - 67.9^\circ = 112.1^\circ \)（钝角），均满足三角形内角和，故有两解。

3. 三角形面积公式（两边及夹角）

公式：若已知两边 \( a, b \) 及夹角 \( C \)，则面积

\[ \text{Area} = \frac{1}{2}ab \sin C \]

（字母可互换）。

例题

三角形两边为 \( 6.9\ \text{cm} \)、\( 4.2\ \text{cm} \)，夹角 \( 75^\circ \)，求面积。

解：代入公式：

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 6.9 \times 4.2 \times \sin 75^\circ \approx 14.0\ \text{cm}^2 \]

（保留3位有效数字）

模块二：三角函数的图像与变换

核心内容：掌握正弦、余弦、正切的基本图像特征（周期性、关键点），以及图像的平移、伸缩、反射变换。

1. 基本图像的周期性与关键点

函数	周期	\( x \)-轴交点（\( y=0 \)）	极值（最大值/最小值）	特殊特征
\( y = \sin \theta \)	\( 360^\circ \)	\( \dots, -180^\circ, 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots \)	\( 1 \) / \( -1 \)	过原点 \( (0,0) \)
\( y = \cos \theta \)	\( 360^\circ \)	\( \dots, -90^\circ, 90^\circ, 270^\circ, 450^\circ, \dots \)	\( 1 \) / \( -1 \)	过 \( (0, 1) \)
\( y = \tan \theta \)	\( 180^\circ \)	\( \dots, -180^\circ, 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots \)	无（趋向 \( \pm \infty \)）	垂直渐近线 \( x = 90^\circ + k \cdot 180^\circ \)

2. 图像的变换（以 \( y = \sin \theta \) 为例，余弦、正切同理）

垂直伸缩：\( y = A \sin \theta \)，纵坐标按比例 \( |A| \) 伸缩（\( |A| > 1 \) 拉长，\( 0 < |A| < 1 \) 压缩）。
垂直平移：\( y = \sin \theta + k \)，沿 \( y \)-轴平移 \( k \) 单位（\( k > 0 \) 向上，\( k < 0 \) 向下）。
水平平移：\( y = \sin(\theta + a) \)，"左加右减"（\( +a \) 左移 \( a \)，\( -a \) 右移 \( a \)）。
水平伸缩：\( y = \sin(b\theta) \)，周期变为 \( \frac{360^\circ}{b} \)（\( b > 1 \) 压缩，\( 0 < b < 1 \) 拉伸）。
反射：\( y = -\sin \theta \)（关于 \( x \)-轴反射）；\( y = \sin(-\theta) \)（关于 \( y \)-轴反射，正弦为奇函数，等价于 \( -\sin \theta \)）。

变换例题

画出 \( y = -1 + \sin x \)（\( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \)）的图像。

解：原 \( y = \sin x \) 向下平移1个单位，关键点：

零点：\( x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ \) 时，\( y = -1 \)；
最大值：\( x = 90^\circ \) 时，\( y = 0 \)；
最小值：\( x = 270^\circ \) 时，\( y = -2 \)。

模块三：综合应用与题型总结

常见题型：

解三角形综合：多边形（如四边形）分解为三角形，结合正、余弦定理，先求角/边，再求面积。
三角函数图像应用：根据图像求三角方程的解（如 \( \sin \theta = k \) 的多个解），或分析实际周期模型（如水深、振动）。
"SSA"两解问题：已知"两边及其中一边的对角"，判断角的"锐角/钝角"两解，验证是否符合三角形结构。

复习练习

在 \( \triangle PQR \) 中，\( PQ = 15\ \text{cm} \)，\( QR = 12\ \text{cm} \)，\( \angle PRQ = 75^\circ \)，求另外两个角（注意"两解"可能）。
画出 \( y = \cos(\theta - 90^\circ) \)（\( -360^\circ \leq \theta \leq 360^\circ \)）的图像，并求与 \( x \)-轴的交点。
三角形两边为 \( 5\ \text{cm} \)、\( 6\ \text{cm} \)，夹角 \( 60^\circ \)，求面积和第三边。

总结

本章核心是"解三角形的工具（正、余弦定理、面积公式）"与"三角函数的图像特征及变换"。解三角形时，根据"已知边、角的组合"选择定理（三边/两边夹角用余弦；两角一边/两边及对角用正弦）；分析三角函数图像时，抓住"周期性"和"变换规律"，解决"画图、方程求解、实际建模"问题。