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7.1 Radian Measure

弧度制练习题 - 巩固弧度定义和换算技能

一、填空题（每空3分，共30分）

1.
\( \pi \) rad = ______°；\( \frac{\pi}{3} \) rad = ______°。
\( \pi \) rad = 180°；\( \frac{\pi}{3} \) rad = 60°。
答案：180；60
2.
60° = ______ rad；270° = ______ rad。
60° = \( \frac{\pi}{3} \) rad；270° = \( \frac{3\pi}{2} \) rad。
答案：\( \frac{\pi}{3} \)；\( \frac{3\pi}{2} \)
3.
1 rad ≈ ______°（保留1位小数）；1° ≈ ______ rad（保留3位小数）。
1 rad ≈ 57.3°；1° ≈ 0.0175 rad。
答案：57.3；0.0175
4.
圆心角为\( \frac{\pi}{2} \) rad，半径为4 cm，则弧长 l = ______ cm。
弧长公式：l = rθ = 4 × (π/2) = 2π cm。
答案：2π（或约6.28）

二、角度与弧度互化（每题4分，共20分）

5.
将 15° 化为弧度（用 π 表示）。
15° = 15 × (π/180) = π/12 rad。
答案：\( \frac{\pi}{12} \) rad
6.
将 120° 化为弧度（用 π 表示）。
120° = 120 × (π/180) = (120/180)π = (2/3)π = \( \frac{2\pi}{3} \) rad。
答案：\( \frac{2\pi}{3} \) rad
7.
将 225° 化为弧度（用 π 表示）。
225° = 225 × (π/180) = (225/180)π = (5/4)π = \( \frac{5\pi}{4} \) rad。
答案：\( \frac{5\pi}{4} \) rad
8.
将 330° 化为弧度（用 π 表示）。
330° = 330 × (π/180) = (330/180)π = (11/6)π = \( \frac{11\pi}{6} \) rad。
答案：\( \frac{11\pi}{6} \) rad
9.
将 \( \frac{\pi}{5} \) rad 化为角度（保留1位小数）。
\( \frac{\pi}{5} \) rad = \( \frac{\pi}{5} \) × (180/π) = (180/5)° = 36°。
答案：36.0°
10.
将 2 rad 化为角度（保留1位小数）。
2 rad = 2 × (180/π) ≈ 2 × 57.2958 ≈ 114.6°。
答案：114.6°

三、计算器计算（弧度模式，每题5分，共20分）

使用计算器，弧度模式，结果保留3位有效数字：

11.
sin 0.6 rad
确保计算器在弧度模式下：sin(0.6) ≈ 0.565。
答案：≈ 0.565
12.
cos 1.2 rad
确保计算器在弧度模式下：cos(1.2) ≈ 0.362。
答案：≈ 0.362
13.
tan 1.5 rad
确保计算器在弧度模式下：tan(1.5) ≈ 14.1。
答案：≈ 14.1
14.
sin (π/3) rad
确保计算器在弧度模式下：sin(π/3) ≈ 0.866。
答案：≈ 0.866

四、应用题（每题15分，共30分）

15.
一个圆的半径为 5 m，圆心角为 \( \frac{3\pi}{4} \) rad，求：
- 弧长 l；
- 该扇形的面积。
弧长：l = rθ = 5 × (3π/4) = 15π/4 ≈ 11.8 m
扇形面积：S = (1/2)r²θ = (1/2)×5²×(3π/4) = 75π/8 ≈ 29.4 m²
答案：弧长 ≈ 11.8 m；面积 ≈ 29.4 m²
16.
已知角 α = 45°，角 β = π/3 rad，比较 sin α 与 sin β 的大小（统一角度或弧度后分析）。
方法1（统一为弧度）：α = 45° = π/4 rad，β = π/3 rad。
因 sin x 在 (0, π/2) 单调递增，且 π/4 < π/3，故 sin α < sin β。

方法2（统一为角度）：β = π/3 rad = 60°。
因 sin x 在 (0°, 90°) 单调递增，且 45° < 60°，故 sin α < sin β。
答案：sin α < sin β