弧长计算应用练习 - 通过练习巩固弧长公式的理解和应用技能
由 \( l = r\theta \)，得 \( l = 6 \times 0.5 = \boxed{3\ \text{cm}} \)。
由 \( \theta = \frac{l}{r} \)，得 \( \theta = \frac{10}{4} = \boxed{2.5\ \text{rad}} \)。
弧度 \( \theta = \frac{l}{r} = \frac{9}{3} = 3\ \text{rad} \)，转角度：\( 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx \boxed{171.9^\circ} \)。
弧长 \( l = 5 \times 1.2 = 6\ \text{cm} \)，周长 \( = 6 + 2 \times 5 = \boxed{16\ \text{cm}} \)。
周长 \( = r\theta + 2r = r\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = 20 \)，故 \( r = \frac{20}{\frac{\pi}{3} + 2} \approx \boxed{6.56\ \text{cm}} \)。
• 圆心角 \( \angle AOB \) 的弧度值；
• 弧 \( C \) 的长度。
• 半角对边为 \( 1.5\ \text{m} \)，斜边 \( 2.5\ \text{m} \)，故 \( \sin \frac{\angle AOB}{2} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \)，半角 \( \approx 0.6435\ \text{rad} \)，所以 \( \angle AOB \approx \boxed{1.287\ \text{rad}} \)；
• 弧长 \( l = 2.5 \times 1.287 \approx \boxed{3.22\ \text{m}} \)（或优弧长 \( \approx 12.5\ \text{m} \)，需结合题意判断）。
• 求 \( \angle COA \) 的弧度值；
• 求弧 \( CB \) 和弧 \( CA \) 的长度。
• \( \angle COA = \pi - \frac{\pi}{4} = \boxed{\dfrac{3\pi}{4}\ \text{rad}} \)；
• 弧 \( CB \)：\( l_{CB} = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \boxed{\pi\ \text{cm}} \)；弧 \( CA \)：\( l_{CA} = 4 \times \dfrac{3\pi}{4} = \boxed{3\pi\ \text{cm}} \)。
扇形周长 \( = 2R\theta + 2R = 24 \)，即 \( R(\theta + 1) = 12 \)。结合 \( \sin\theta = \dfrac{2}{R - 2} \)，解得 \( R \approx \boxed{8.61\ \text{cm}} \)，\( \theta \approx \boxed{0.487\ \text{rad}} \)。
圆的半径为 \( 8\ \text{cm} \)，圆心角为 \( \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad} \)，求弧长。
由 \( l = r\theta \)，得 \( l = 8 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{3} \approx \boxed{4.19\ \text{cm}} \)。
弧长为 \( 12\pi\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 2\pi\ \text{rad} \)，求半径。
由 \( \theta = \dfrac{l}{r} \)，得 \( r = \dfrac{l}{\theta} = \dfrac{12\pi}{2\pi} = \boxed{6\ \text{cm}} \)。
半径为 \( 5\ \text{m} \) 的圆，弧长为 \( 8\ \text{m} \)，求该弧所对圆心角的度数（保留2位小数）。
弧度 \( \theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{8}{5} = 1.6\ \text{rad} \)，转角度：\( 1.6 \times \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx \boxed{91.67^\circ} \)。
扇形半径为 \( 7\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 2.1\ \text{rad} \)，求扇形周长。
弧长 \( l = 7 \times 2.1 = 14.7\ \text{cm} \)，周长 \( = 14.7 + 2 \times 7 = \boxed{28.7\ \text{cm}} \)。
扇形周长为 \( 18\ \text{cm} \)，圆心角为 \( \dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad} \)，求半径。
周长 \( = r\theta + 2r = r\left(\dfrac{2\pi}{3} + 2\right) = 18 \)，故 \( r = \dfrac{18}{\dfrac{2\pi}{3} + 2} \approx \boxed{4.24\ \text{cm}} \)。
直线段 \( AB = 4\ \text{m} \)，圆心 \( O \) 到直线段的距离为 \( 1.5\ \text{m} \)，圆半径为 \( 3\ \text{m} \)，求弧 \( AB \) 的长度。
垂足 \( M \) 是中点，\( AM = 2\ \text{m} \)，在 \( \triangle OMA \) 中，\( OA = 3\ \text{m} \)，\( OM = 1.5\ \text{m} \)，故 \( \cos \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{1.5}{3} = 0.5 \)，半角 \( \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad} \)，全角 \( \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} \)。弧长 \( l = 3 \times \dfrac{\pi}{3} = \boxed{\pi\ \text{m}} \)。
钟表时针长 \( 8\ \text{cm} \)，从12点到3点，时针扫过的弧长是多少？
从12点到3点，时针转动 \( 90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad} \)，弧长 \( l = 8 \times \dfrac{\pi}{2} = \boxed{4\pi\ \text{cm}} \)。
汽车轮胎半径为 \( 35\ \text{cm} \)，汽车行驶 \( 100\ \text{m} \)，轮胎转动了多少弧度？
汽车行驶距离等于轮胎转动的弧长，弧长 \( l = 100\ \text{m} = 10000\ \text{cm} \)，弧度 \( \theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{10000}{35} \approx \boxed{285.7\ \text{rad}} \)。