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📚 教材全解

弧长计算 - 掌握弧长公式及其在扇形和几何图形中的应用

一、教材全解（弧长计算的核心知识）

小结重点：弧长（Arc length）

弧长是圆弧的重要度量，连接了角度和长度的概念，是理解圆形几何的关键桥梁。

1. 核心公式

扇形的弧长 \( l \) 满足 \( \boxed{l = r\theta} \)，其中 \( r \) 为圆的半径，\( \theta \) 为扇形的圆心角（单位：弧度）。

2. 公式延伸

3. 几何综合

涉及扇形与直线段组成的图形时，常需用三角函数（如正弦、余弦）求圆心角，再结合弧长公式计算。

弧长公式： \( l = r\theta \)
圆心角： \( \theta = \dfrac{l}{r} \)
扇形周长： \( r\theta + 2r = r(\theta + 2) \)

弧长练习题详解

一、基础公式应用（每题8分，共24分）

例题1：圆的半径为 \( 6\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 0.5\ \text{rad} \)，求弧长。
解答：由 \( l = r\theta \)，得 \( l = 6 \times 0.5 = 3\ \text{cm} \)。
例题2：扇形弧长为 \( 10\ \text{cm} \)，半径为 \( 4\ \text{cm} \)，求圆心角（单位：弧度）。
解答：由 \( \theta = \frac{l}{r} \)，得 \( \theta = \frac{10}{4} = 2.5\ \text{rad} \)。
例题3：圆的半径为 \( 3\ \text{m} \)，某弧长为 \( 9\ \text{m} \)，求该弧所对圆心角的度数（保留1位小数）。
解答：弧度 \( \theta = \frac{l}{r} = \frac{9}{3} = 3\ \text{rad} \)，转角度：\( 3 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 171.9^\circ \)。

二、扇形周长综合（每题12分，共24分）

例题4：扇形半径为 \( 5\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 1.2\ \text{rad} \)，求扇形周长（周长 = 弧长 \( + 2 \times \) 半径）。
解答：弧长 \( l = 5 \times 1.2 = 6\ \text{cm} \)，周长 \( = 6 + 2 \times 5 = 16\ \text{cm} \)。
例题5：扇形周长为 \( 20\ \text{cm} \)，圆心角为 \( \frac{\pi}{3}\ \text{rad} \)，求半径 \( r \)（保留3位有效数字）。
解答：周长 \( = r\theta + 2r = r\left(\frac{\pi}{3} + 2\right) = 20 \)，故 \( r = \frac{20}{\frac{\pi}{3} + 2} \approx 6.56\ \text{cm} \)。

三、几何图形结合（每题16分，共32分）

例题6：池塘边界由直边 \( AB = 3\ \text{m} \) 和弧 \( C \) 组成，弧 \( C \) 是半径为 \( 2.5\ \text{m} \) 的圆的一部分。过圆心 \( O \) 作 \( AB \) 的垂线，将 \( \triangle AOB \) 分为两个全等直角三角形，求：
- 圆心角 \( \angle AOB \) 的弧度值；
- 弧 \( C \) 的长度。
解答：
- 半角对边为 \( 1.5\ \text{m} \)，斜边 \( 2.5\ \text{m} \)，故 \( \sin \frac{\angle AOB}{2} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \)，半角 \( \approx 0.6435\ \text{rad} \)，所以 \( \angle AOB \approx 1.287\ \text{rad} \)；
- 弧长 \( l = 2.5 \times 1.287 \approx 3.22\ \text{m} \)（或优弧长 \( \approx 12.5\ \text{m} \)，需结合题意判断）。
例题7：圆的直径 \( AB = 8\ \text{cm} \)，点 \( C \) 在圆周上，\( \angle COB = \frac{\pi}{4}\ \text{rad} \)（\( O \) 为圆心）：
- 求 \( \angle COA \) 的弧度值；
- 求弧 \( CB \) 和弧 \( CA \) 的长度。
解答：
- \( \angle COA = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\ \text{rad} \)；
- 弧 \( CB \)：\( l_{CB} = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi\ \text{cm} \)；弧 \( CA \)：\( l_{CA} = 4 \times \frac{3\pi}{4} = 3\pi\ \text{cm} \)。

四、拓展应用题（20分）

例题8：扇形 \( AOB \) 半径为 \( R \)，圆心角为 \( 2\theta \) 弧度，周长为 \( 24\ \text{cm} \)。扇形内有一个小圆，与弧 \( AB \) 及半径 \( OA \)、\( OB \) 都相切，小圆半径 \( r = 2\ \text{cm} \)。结合几何关系 \( \sin\theta = \frac{2}{R - 2} \)，求 \( R \) 和 \( \theta \) 的值（保留3位有效数字）。
解答：扇形周长 \( = 2R\theta + 2R = 24 \)，即 \( R(\theta + 1) = 12 \)。结合 \( \sin\theta = \frac{2}{R - 2} \)，解得 \( R \approx 8.61\ \text{cm} \)，\( \theta \approx 0.487\ \text{rad} \)。

二、章节练习（弧长公式的应用）

基础练习题

练习1：基本弧长计算

圆的半径为 \( 8\ \text{cm} \)，圆心角为 \( \frac{\pi}{6}\ \text{rad} \)，求弧长。

练习2：反求参数

弧长为 \( 12\pi\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 2\pi\ \text{rad} \)，求半径。

练习3：角度换算

半径为 \( 5\ \text{m} \) 的圆，弧长为 \( 8\ \text{m} \)，求该弧所对圆心角的度数（保留2位小数）。

综合应用题

练习4：扇形周长

扇形半径为 \( 7\ \text{cm} \)，圆心角为 \( 2.1\ \text{rad} \)，求扇形周长。

练习5：已知周长求半径

扇形周长为 \( 18\ \text{cm} \)，圆心角为 \( \frac{2\pi}{3}\ \text{rad} \)，求半径。

练习6：几何结合

直线段 \( AB = 4\ \text{m} \)，圆心 \( O \) 到直线段的距离为 \( 1.5\ \text{m} \)，圆半径为 \( 3\ \text{m} \)，求弧 \( AB \) 的长度。

实际应用题

练习7：钟表问题

钟表时针长 \( 8\ \text{cm} \)，从12点到3点，时针扫过的弧长是多少？

练习8：车轮转动

汽车轮胎半径为 \( 35\ \text{cm} \)，汽车行驶 \( 100\ \text{m} \)，轮胎转动了多少弧度？

三、章节总结（核心要点与方法）

1. 核心公式总结

弧长公式： \( l = r\theta \)（\( \theta \) 为弧度）
圆心角： \( \theta = \dfrac{l}{r} \)（已知弧长求角度）
扇形周长： \( r\theta + 2r = r(\theta + 2) \)

2. 弧度与角度换算

弧度转角度： \( \dfrac{180^\circ}{\pi} \times \theta_{rad} \)
角度转弧度： \( \dfrac{\pi}{180^\circ} \times \theta_{deg} \)

3. 解题步骤

基础弧长计算：

  1. 识别已知量（半径 r，角度 θ）
  2. 确保角度为弧度（若为角度需转换）
  3. 代入公式 \( l = r\theta \)
  4. 计算结果，保留适当有效数字

几何综合问题：

  1. 分析几何图形，找出圆心和半径
  2. 用三角函数求圆心角
  3. 结合弧长公式计算
  4. 验证结果合理性

4. 思想方法

5. 易错点分析