📚 章节总结

章节总结：弧度制与扇形、弓形的面积

一、弧度的基本概念与角度-弧度换算

1. 弧度的定义

当圆心角所对的弧长等于圆的半径时，该圆心角的大小为\( 1 \)弧度（记为\( 1\ \text{rad} \)）。

2. 角度与弧度的换算

• 核心关系：\( 2\pi \ \text{rad} = 360^\circ \)，\( \pi \ \text{rad} = 180^\circ \)；
• 推导公式：\( 1\ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ \)，\( 1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{rad} \approx 0.0175\ \text{rad} \)；
• 特殊角度的弧度值（需牢记）：
  \( 30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\ \text{rad} \)，\( 45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\ \text{rad} \)，\( 60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} \)，
  \( 90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad} \)，\( 180^\circ = \pi\ \text{rad} \)，\( 360^\circ = 2\pi\ \text{rad} \)。

二、弧长与扇形面积

1. 弧长公式

若圆的半径为\( r \)，扇形的圆心角为\( \theta \)（单位：弧度），则扇形的弧长为：

圆心O，扇形AOB，半径r，角度θ

     A
     ●
    / \
   /   \ ← 弧长 l = rθ
  /     \
 ●───O───● ← 扇形面积 (1/2)r²θ
  \     /
   \   /
    \ /
     ●
     B

核心公式总结：
• 弧长 l = r × θ
• 扇形面积 = (1/2) × r² × θ
        

1. 弧长公式

若圆的半径为\( r \)，扇形的圆心角为\( \theta \)（单位：弧度），则扇形的弧长为：

2. 扇形面积公式

若圆的半径为\( r \)，扇形的圆心角为\( \theta \)（单位：弧度），则扇形的面积为：

三、弓形面积

弓形是"扇形中去掉三角形部分"的区域，其面积通过扇形面积减去对应三角形的面积得到：

• 扇形面积：\( \dfrac{1}{2} r^2 \theta \)；
• 三角形面积（两边为半径\( r \)，夹角为\( \theta \)）：\( \dfrac{1}{2} r^2 \sin \theta \)；
• 因此，弓形面积公式为：

四、应用要点

涉及圆的"弧长""扇形面积""弓形面积"计算时，需注意：

• 若圆心角为角度制，先通过\( 1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\ \text{rad} \)转换为弧度制，再代入公式；
• 扇形周长需结合"弧长 \( + 2 \times \) 半径"计算（即 \( \text{周长} = r\theta + 2r \)）；
• 弓形面积的核心是"扇形与三角形的面积差"，需结合三角函数求三角形面积。

通过弧度制与上述公式，可简化圆的扇形、弧、弓形相关的长度与面积计算。