8.1 Gradients of Curves

练习题：探索曲线 \( y = x^2 \) 的切线梯度

1

题目1：点 \( (3, 9) \) 处的弦梯度与切线梯度

曲线 \( y = x^2 \) 上有定点 \( F(3, 9) \)，计算弦 \( FP \) 的梯度（\( P \) 为邻近点），并推测切线梯度。

计算弦 \( FP \) 的梯度，其中 \( P \) 的坐标为：

① \( (4, 16) \)
② \( (3.5, 12.25) \)
③ \( (3.1, 9.61) \)
④ \( (3.01, 9.0601) \)
⑤ \( (3 + h, (3 + h)^2) \)（\( h \) 为很小的数）

当 \( P \) 无限靠近 \( F(3, 9) \) 时，弦 \( FP \) 的梯度趋近于多少？推测曲线在 \( F(3, 9) \) 处的切线梯度。

弦梯度公式：

\[ \text{梯度} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

具体计算：

① \( P(4, 16) \)：\( \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7 \)

② \( P(3.5, 12.25) \)：\( \frac{12.25 - 9}{3.5 - 3} = 6.5 \)

③ \( P(3.1, 9.61) \)：\( \frac{9.61 - 9}{3.1 - 3} = 6.1 \)

④ \( P(3.01, 9.0601) \)：\( \frac{9.0601 - 9}{3.01 - 3} = 6.01 \)

一般表达式：

\[ \frac{(3 + h)^2 - 3^2}{(3 + h) - 3} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \quad (h \neq 0) \]

当 \( h \to 0 \) 时，\( 6 + h \to 6 \)，故曲线在 \( F(3, 9) \) 处的切线梯度趋近于6。

答案：趋近于6

2

题目2：一般点 \( (a, a^2) \) 的切线梯度公式

对于曲线 \( y = x^2 \) 上的任意点 \( (a, a^2) \)，取邻近点 \( (a + h, (a + h)^2) \)（\( h \neq 0 \)）：

1. 弦梯度计算：

\[ \frac{(a + h)^2 - a^2}{(a + h) - a} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \]

2. 极限过程：

当 \( h \to 0 \) 时，弦梯度 \( 2a + h \to 2a \)，因此曲线在点 \( (a, a^2) \) 处的切线梯度为 \( 2a \)。

重要结论：对于 \( y = x^2 \)，点 \( (a, a^2) \) 处的切线梯度公式为 \( 2a \)。

答案：\( 2a \)

3

题目3：图像验证

绘制 \( y = x^2 \) 的图像，在 \( (1, 1) \)、\( (2, 4) \)、\( (3, 9) \) 处画切线，通过图像估计切线梯度，验证计算结果。

图像验证结果：

验证过程：

通过绘制图像，我们可以直观地看到：

图像验证与理论计算结果完全一致，证明了弦梯度逼近法的正确性。

答案：图像验证与理论计算一致，切线梯度分别为2、4、6

弦梯度公式：梯度 = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

① P(4, 16)：(16 - 9)/(4 - 3) = 7

② P(3.5, 12.25)：(12.25 - 9)/(3.5 - 3) = 6.5

③ P(3.1, 9.61)：(9.61 - 9)/(3.1 - 3) = 6.1

④ P(3.01, 9.0601)：(9.0601 - 9)/(3.01 - 3) = 6.01

⑤ P(3 + h, (3 + h)²)：(6h + h²)/h = 6 + h (h ≠ 0)

当 h → 0 时，6 + h → 6，故曲线在 F(3, 9) 处的切线梯度趋近于6。

通过"弦梯度逼近切线梯度"的方法，可探索曲线的切线梯度。对 \( y = x^2 \)，点 \( (a, a^2) \) 处的切线梯度为 \( 2a \)，这体现了微分学中"极限与导数"的核心思想。