8.2 Finding the Derivative

导数的定义

导数（Derivative）是微积分的核心概念，它描述了函数在某一点处的瞬时变化率。从几何角度来看，导数就是曲线在该点处切线的斜率。

若函数为 \( y = f(x) \)，则其导数（梯度函数）\( f'(x) \) 定义为：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

其中 \( h \) 表示 \( x \) 的微小变化量。

几何意义

导数 \( f'(x) \) 表示曲线 \( y = f(x) \) 在点 \( (x, f(x)) \) 处的切线斜率，它是通过弦斜率的极限值得到的。

核心思想：当弦的一个端点无限靠近另一个端点时，弦的梯度趋近于切线的梯度。

函数 \( y = x^2 \) 及其导数 \( y = 2x \)

下图展示了抛物线 \( y = x^2 \) 和其导函数 \( y = 2x \) 的图像。可以观察到导函数的斜率变化与原函数的陡峭程度相对应。

图示：蓝色曲线为 \( y = x^2 \)，红色虚线为 \( y = 2x \)（导函数）

函数 \( y = x^3 \) 及其导数

\( y = x^3 \) 是一个三次函数，其导数 \( y = 3x^2 \) 是一个二次函数。导函数的零点对应原函数的水平切点。

图示：绿色曲线为 \( y = x^3 \)，橙色虚线为 \( y = 3x^2 \)

步骤1：计算 \( f(x + h) = (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)

步骤2：求差值 \( f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2) - x^2 = 2xh + h^2 \)

步骤3：计算比率 \( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \)（\( h \neq 0 \)）

步骤4：取极限 \( \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x \)，故 \( f'(x) = 2x \)

步骤1：计算 \( f(-2 + h) = (-2 + h)^3 = -8 + 12h - 6h^2 + h^3 \)

步骤2：求差值 \( f(-2 + h) - f(-2) = (-8 + 12h - 6h^2 + h^3) - (-8) = 12h - 6h^2 + h^3 \)

步骤3：计算比率 \( \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} = \frac{12h - 6h^2 + h^3}{h} = 12 - 6h + h^2 \)（\( h \neq 0 \)）

步骤4：取极限 \( \lim_{h \to 0} (12 - 6h + h^2) = 12 \)，故梯度为12

弦逼近切线的过程

当邻近点无限靠近固定点时，弦的斜率逐渐逼近切线的斜率。这体现了极限过程的本质。

图示：蓝色曲线为主曲线，红色线段为不同长度的弦，虚线为切线

几何解释

弦的斜率是两点间的平均变化率，而切线的斜率是一点处的瞬时变化率。通过极限过程，我们从平均变化率过渡到瞬时变化率。

历史意义：牛顿和莱布尼兹发明微积分时，正是通过这种"弦逼近切线"的几何直观方法，建立了极限和导数的概念。这标志着数学从静态研究转向动态变化的研究。

重要提醒

第一性原理求导虽然繁琐，但它是理解导数本质的最佳方法。通过反复练习，可以深刻体会极限思想在微积分中的核心地位。