二次函数求导练习题 - 掌握抛物线导数计算
求下列二次函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = 2x^2 + 3x - 1 \)
使用二次函数求导法则：\( \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \)
这里 \( a = 2 \)，\( b = 3 \)，\( c = -1 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot 2x + 3 = 4x + 3 \)
\( y = -x^2 + 4x + 2 \)
使用二次函数求导法则：\( \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \)
这里 \( a = -1 \)，\( b = 4 \)，\( c = 2 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-1)x + 4 = -2x + 4 \)
\( y = 5x^2 - 2x \)
使用二次函数求导法则：\( \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \)
这里 \( a = 5 \)，\( b = -2 \)，\( c = 0 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot 5x + (-2) = 10x - 2 \)
\( y = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 \)
使用二次函数求导法则：\( \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \)
这里 \( a = \frac{1}{2} \)，\( b = 3 \)，\( c = -4 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{2}x + 3 = x + 3 \)
求下列二次函数的顶点坐标和极值：
\( y = x^2 - 6x + 5 \)
顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \)
顶点纵坐标：\( y = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \)
顶点：\( (3, -4) \)，由于 \( a = 1 > 0 \)，开口向上，有极小值 -4
\( y = -2x^2 + 8x - 3 \)
顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)
顶点纵坐标：\( y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5 \)
顶点：\( (2, 5) \)，由于 \( a = -2 < 0 \)，开口向下，有极大值 5
\( y = 3x^2 - 12x + 7 \)
顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \)
顶点纵坐标：\( y = 3(2)^2 - 12(2) + 7 = 12 - 24 + 7 = -5 \)
顶点：\( (2, -5) \)，由于 \( a = 3 > 0 \)，开口向上，有极小值 -5
求曲线在指定点的切线方程或梯度：
求 \( y = 2x^2 - 3x + 1 \) 在点 \( (2, 3) \) 处的切线方程
1. 求导：\( y' = 4x - 3 \)
2. 在 \( x = 2 \) 处斜率：\( m = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5 \)
3. 切线方程：\( y - 3 = 5(x - 2) \)，即 \( y = 5x - 10 + 3 = 5x - 7 \)
求 \( y = -x^2 + 4x - 2 \) 在 \( x = 1 \) 处的梯度
1. 求导：\( y' = -2x + 4 \)
2. 在 \( x = 1 \) 处梯度：\( y' = -2(1) + 4 = -2 + 4 = 2 \)
求 \( y = \frac{1}{3}x^2 + 2x - 5 \) 在顶点处的切线方程
1. 求导：\( y' = \frac{2}{3}x + 2 \)
2. 顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -3 \)
3. 顶点纵坐标：\( y = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) - 5 = \frac{1}{3}(9) - 6 - 5 = 3 - 6 - 5 = -8 \)
4. 顶点导数：\( y' = \frac{2}{3}(-3) + 2 = -2 + 2 = 0 \)（水平切线）
5. 切线方程：\( y - (-8) = 0(x - (-3)) \)，即 \( y + 8 = 0 \)，\( y = -8 \)
解决实际应用中的二次函数求导问题：
某公司利润函数 \( P(x) = -x^2 + 10x - 6 \)，其中x为产量（单位：百件）。求最大利润时的产量和利润值。
利润函数是二次函数，开头为负，开口向下，有最大值。
顶点横坐标（最大利润产量）：\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = -\frac{10}{-2} = 5 \)
最大利润：\( P(5) = -(5)^2 + 10(5) - 6 = -25 + 50 - 6 = 19 \)
产量为500件，利润为1900元。
物体做抛物线运动，高度函数 \( h(t) = -4.9t^2 + 20t + 5 \)，其中t为时间（秒）。求物体达到最高点的时间和高度。
这是一个二次函数，开口向下，有最大值。
顶点横坐标（最高点时间）：\( t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-4.9)} = -\frac{20}{-9.8} \approx 2.04 \) 秒
最高高度：\( h(2.04) = -4.9(2.04)^2 + 20(2.04) + 5 \approx -4.9 \times 4.16 + 40.8 + 5 \approx -20.4 + 40.8 + 5 = 25.4 \) 米
二次函数求导的核心是理解其导数是线性函数，顶点处的导数为零。掌握顶点计算、极值分析和切线方程是解决二次函数问题的关键。
核心公式：二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的导数为 \( \frac{dy}{dx} = 2ax + b \)
二次函数求导是连接基础代数和微积分的桥梁。通过练习可以培养函数分析能力和实际问题解决能力，为更复杂的函数求导做好准备。