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8.4 Differentiating Quadratics

二次函数求导总结 - 抛物线导数的核心要点

二次函数标准形式

一般形式与顶点形式

一般形式：\( y = ax^2 + bx + c \)
顶点形式：\( y = a(x - h)^2 + k \)

其中 \( a \neq 0 \)，\( (h, k) \) 为顶点坐标。

形式转化

\( y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2((x-1)^2 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 1 \)

顶点：\( (1, -1) \)

二次函数求导法则

核心公式

\[ \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \]

导函数是线性函数，常数项的导数为0。

模式识别：二次函数 → 线性导函数，常数项消失。

导数示例

\( y = 3x^2 + 2x - 5 \) → \( y' = 6x + 2 \)
\( y = -x^2 + 4x + 2 \) → \( y' = -2x + 4 \)
\( y = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 \) → \( y' = x + 3 \)

顶点与极值分析

顶点计算公式

顶点横坐标：\( x = -\frac{b}{2a} \)
顶点纵坐标：\( y = c - \frac{b^2}{4a} \)

极值特征

  • a > 0：开口向上，顶点处取极小值
  • a < 0：开口向下，顶点处取极大值
  • 顶点导数：恒为0（水平切线）
综合示例

\( y = -2x^2 + 8x - 3 \)：

• 顶点：\( x = -\frac{8}{2(-2)} = 2 \)，\( y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = 5 \)

• 极值：极大值5（因a < 0）

切线方程求法

求切线方程步骤

  1. 求导数 \( y' = 2ax + b \)
  2. 计算指定点斜率 \( m = y'|_{x=x_0} \)
  3. 使用点斜式：\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
切线示例

\( y = x^2 + 2x - 3 \) 在点(1,0)处的切线：

• \( y' = 2x + 2 \)，在x=1处m=4

• 切线：\( y - 0 = 4(x - 1) \)，\( y = 4x - 4 \)

二次函数几何特征

几何性质

  • 对称轴：垂直于x轴的直线 \( x = -\frac{b}{2a} \)
  • 开口方向：由二次项系数a决定
  • 导数符号：反映抛物线的增减性
  • 拐点：二次函数无拐点（导函数为线性）

导函数特征：导函数 \( y' = 2ax + b \) 是线性函数，其斜率为2a，与原函数开口方向一致。

配方法与完全平方

配方步骤

  1. 提取a：\( y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \)
  2. 配平方：\( x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 \)
  3. 完成配方
配方示例

\( y = 3x^2 + 6x - 2 = 3(x^2 + 2x) - 2 = 3(x+1)^2 - 3 - 2 = 3(x+1)^2 - 5 \)

顶点：(-1, -5)

实际应用场景

应用领域

  • 物理学：抛物线运动、位移-时间关系
  • 经济学：成本函数、利润最大化
  • 工程学：拱桥设计、最优路径
  • 优化问题：二次目标函数的极值
经济学应用

成本函数 \( C(x) = 2x^2 - 8x + 10 \) 求最小成本产量：

• \( C'(x) = 4x - 8 = 0 \)，\( x = 2 \)

• 最小成本产量为2单位

学习要点速记

核心要点总结

  • 导数公式：\( \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b \)
  • 顶点公式：\( x = -\frac{b}{2a} \)，导数恒为0
  • 极值判断：a>0极小值，a<0极大值
  • 切线方程：三步法：求导、求斜率、点斜式
  • 几何意义：导数反映抛物线的瞬时变化率
学习价值

二次函数求导建立了代数与几何的桥梁，掌握其导数特征有助于理解更复杂的函数。通过练习可以培养函数分析能力和实际问题解决能力。

常见错误提醒

易错点分析

  • 导数公式错误：记住是"2ax + b"，不要写成"2ax^2 + b"
  • 顶点公式混淆：顶点横坐标是 -\frac{b}{2a}，不要忘记负号
  • 极值判断遗漏：忘记根据a的符号判断极值类型
  • 切线方程计算：求斜率时不要忘记代入x值
典型错误

求 \( y = 2x^2 + 3x - 1 \) 的导数，很多学生会写成 \( 4x^2 + 3 \)，但正确应该是 \( 4x + 3 \)。要记住：常数项导数为0，二次项系数乘以指数。

学习建议

练习建议

  • 多练习配方：熟练掌握二次函数配成完全平方形式
  • 重视几何意义：理解导数与切线斜率的关系
  • 练习切线方程：掌握求切线方程的三步法
  • 结合实际应用：通过经济学、物理学例子理解实际意义

长远价值：二次函数求导是微积分的重要基础，它为求解多项式函数导数提供了基本模式。通过练习可以培养函数分析能力和数学建模能力。