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8.4 Differentiating Quadratics

二次函数求导 - 抛物线切线斜率与顶点分析

二次函数的标准形式

一般形式

二次函数的一般形式为：

\[ y = ax^2 + bx + c \]

其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 为常数，且 \( a \neq 0 \)。

顶点形式

二次函数的顶点形式（配方法）为：

\[ y = a(x - h)^2 + k \]

其中 \( (h, k) \) 是抛物线的顶点坐标。

转化示例

将 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) 配方：

\( y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2((x-1)^2 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1 \)

顶点为 \( (1, -1) \)。

二次函数的导数

导数公式

二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的导数为：

\[ \frac{dy}{dx} = 2ax + b \]

导函数是一个线性函数（一次函数）。

求导示例

求 \( y = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数：

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(5) \\ &= 3 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0 \\ &= 6x + 2 \end{align*}

模式识别：二次函数求导后变成线性函数，常数项的导数为0。

抛物线的几何特征

几何特征

  • 开口方向：当 \( a > 0 \) 时向上开口，当 \( a < 0 \) 时向下开口
  • 对称轴：对称轴为 \( x = -\frac{b}{2a} \)
  • 顶点：顶点坐标为 \( \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right) \)
  • 导数特征：导函数 \( y' = 2ax + b \) 是线性递增或递减函数

顶点处的切线

顶点切线特征

  • 顶点导数：在顶点 \( x = -\frac{b}{2a} \) 处，导数 \( y' = 2a\left(-\frac{b}{2a}\right) + b = -b + b = 0 \)
  • 水平切线：顶点处的切线是水平的（斜率为0）
  • 极值点：顶点是函数的极值点（极大值或极小值）
顶点分析

对于 \( y = 2x^2 - 4x + 1 \)：

• 对称轴：\( x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

• 顶点：\( (1, 2(1)^2 - 4(1) + 1) = (1, 2-4+1) = (1, -1) \)

• 顶点导数：\( y' = 4x - 4 \)，在 \( x = 1 \) 处 \( y' = 0 \)

切线方程

求切线方程步骤

  1. 求导函数 \( y' = 2ax + b \)
  2. 计算给定点处的斜率 \( m = y' \vert_{x=x_0} \)
  3. 使用点斜式：\( y - y_0 = m(x - x_0) \)
切线方程示例

求 \( y = x^2 + 2x - 3 \) 在点 \( (1, 0) \) 处的切线方程：

1. 求导：\( y' = 2x + 2 \)

2. 在 \( x = 1 \) 处斜率：\( m = 2(1) + 2 = 4 \)

3. 切线方程：\( y - 0 = 4(x - 1) \)，即 \( y = 4x - 4 \)

二次函数的极值

极值分析

  • 极值点：发生在导数为零处，即 \( 2ax + b = 0 \)，\( x = -\frac{b}{2a} \)
  • 极大值：当 \( a < 0 \) 时，在顶点取得极大值
  • 极小值：当 \( a > 0 \) 时，在顶点取得极小值
  • 无极值：当 \( a = 0 \) 时，退化为线性函数
极值示例

求 \( y = -x^2 + 6x - 5 \) 的极值：

• \( a = -1 < 0 \)，开口向下，有极大值

• 顶点：\( x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \)

• 极值：\( y = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)

二次函数的应用

实际应用

  • 物理学：抛物线运动轨迹，位移-时间关系
  • 经济学：成本函数、利润函数的极值分析
  • 工程学：拱桥设计、抛物面天线
  • 优化问题：最大化/最小化二次目标函数
应用示例

某工厂生产成本函数 \( C(x) = 2x^2 - 8x + 10 \)，其中x为产量。求最优产量：

• 求导：\( C'(x) = 4x - 8 \)

• 令导数为0：\( 4x - 8 = 0 \)，\( x = 2 \)

• 最优产量为2单位，此时成本最低。

二次函数的完全平方形式

配方法步骤

  1. 提取二次项系数：\( y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \)
  2. 配成完全平方：\( x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 \)
  3. 代入原式完成配方
配方示例

将 \( y = 3x^2 + 6x - 2 \) 配成完全平方形式：

\( y = 3(x^2 + 2x) - 2 = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) - 2 = 3((x+1)^2 - 1) - 2 = 3(x+1)^2 - 3 - 2 = 3(x+1)^2 - 5 \)

顶点为 \( (-1, -5) \)。

注意事项

  • 导数是线性的：二次函数的导数是一次函数，这是区别于其他函数的重要特征
  • 顶点导数为零：抛物线顶点处的切线总是水平的
  • 开口方向决定极值：a的符号决定函数是否有极值以及极值的类型
  • 配方的重要性：完全平方形式有助于快速确定顶点和对称轴
易错点提醒

求二次函数导数时，不要忘记常数项的导数为0。有些学生可能会写成 \( \frac{dy}{dx} = 2ax^2 + b \)，这是错误的。