多顶函数求导总结 - 和差法则与复杂函数化简技巧
对于含两个或多个项的函数，利用和差求导法则：
逐项求导后再合并。
法则理解：导数的线性性质：函数和的导数等于导数的和，函数差的导数等于导数的差。这使得我们可以逐项处理复杂函数。
求 \( y = 3x^4 + 2\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} \) 的导数：
1. 整理：\( y = 3x^4 + 2x^{\frac{1}{2}} - x^{-2} \)
2. 逐项求导：\( 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - (-2)x^{-3} = 12x^3 + x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{-3} \)
3. 化简：\( 12x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^3} \)
求 \( y = \frac{x^3 - 4x}{x} \) 的导数：
1. 化简：\( y = \frac{x^3}{x} - \frac{4x}{x} = x^2 - 4 \)
2. 求导：\( \frac{dy}{dx} = 2x \)
求 \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的梯度：
1. 求导：\( y' = 6x^2 - 6x \)
2. 代入：\( y' = 6(2)^2 - 6(2) = 6 \cdot 4 - 12 = 24 - 12 = 12 \)
对于含参数的函数求导：
已知 \( f(x) = \frac{6}{k\sqrt{x}} + 2x \) 且 \( f'(1) = 5 \)，求k：
1. 求导：\( f'(x) = \frac{6}{k} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} + 2 = -\frac{3}{k\sqrt{x^3}} + 2 \)
2. 代入x=1：\( f'(1) = -\frac{3}{k} + 2 = 5 \)
3. 解方程：\( -\frac{3}{k} = 3 \)，\( k = -1 \)
一般多项式函数 \( y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \) 的导数：
常数项导数为0。
求 \( y = 4x^5 - 3x^3 + 2x^2 - 7x + 1 \) 的导数：
\( y' = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x - 7 = 20x^4 - 9x^2 + 4x - 7 \)
多顶函数求导的关键是"将非标准形式（根式、分式）转化为 \( ax^n \)，再用'指数乘系数，指数减1'"。核心是熟练应用幂函数求导规则，包括基本幂函数、复合幂函数和在特定点的梯度计算。
求 \( y = \frac{x^2 - 1}{x} \) 的导数，很多学生直接求导得到 \( \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{x} \)，但正确应该是先化简为 \( x - \frac{1}{x} \)，导数为 \( 1 + \frac{1}{x^2} \)。
长远价值：掌握多顶函数求导是微积分的基础，它为求解多项式函数导数提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力，为后续学习奠定坚实的基础。