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8.5 Differentiating with Two or More Terms

多顶函数求导 - 和差法则与复杂函数化简技巧

和差求导法则

核心规则

对于含两个或多个项的函数，利用和差求导法则：

若 \( y = f(x) \pm g(x) \)，则 \( \frac{dy}{dx} = f'(x) \pm g'(x) \)

逐项求导后再合并。

法则理解

导数的线性性质：函数和的导数等于导数的和，函数差的导数等于导数的差。这使得我们可以逐项处理复杂函数。

操作步骤

多顶函数求导步骤

  1. 整理形式：将函数的每一项整理为 \( ax^n \) 形式（\( a \) 为常数，\( n \) 为实数）
  2. 转化根式分式：如 \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)，\( \frac{1}{x^3} = x^{-3} \)
  3. 逐项求导：对每一项用幂函数求导法则 \( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \)
  4. 合并结果：将各项导数相加/相减，得到整体导数
步骤示例

求 \( y = 3x^4 + 2\sqrt{x} - \frac{1}{x^2} \) 的导数：

1. 整理：\( y = 3x^4 + 2x^{\frac{1}{2}} - x^{-2} \)

2. 逐项求导：\( 3 \cdot 4x^3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - (-2)x^{-3} = 12x^3 + x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{-3} \)

3. 化简：\( 12x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^3} \)

复杂函数化简技巧

化简处理方法

  • 乘积展开：如 \( x^2(x + 3) \) 展开为 \( x^3 + 3x^2 \)
  • 分式化简：如 \( \frac{x^3 - 4x}{x} = x^2 - 4 \)（\( x \neq 0 \)）
  • 根式转化：如 \( \frac{2x + 1}{\sqrt{x}} = 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \)
  • 完全平方展开：如 \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)
化简示例

求 \( y = \frac{x^3 - 4x}{x} \) 的导数：

1. 化简：\( y = \frac{x^3}{x} - \frac{4x}{x} = x^2 - 4 \)

2. 求导：\( \frac{dy}{dx} = 2x \)

点梯度计算

求曲线在某点的梯度

  1. 求导函数 \( \frac{dy}{dx} \)
  2. 将指定点的横坐标代入导函数
  3. 计算得到该点的梯度值
点梯度示例

求 \( y = 2x^3 - 3x^2 + 1 \) 在 \( x = 2 \) 处的梯度：

1. 求导：\( y' = 6x^2 - 6x \)

2. 代入：\( y' = 6(2)^2 - 6(2) = 6 \cdot 4 - 12 = 24 - 12 = 12 \)

含参数函数求导

含参数函数处理

对于含参数的函数求导：

  1. 将函数视为关于x的函数，参数视为常数
  2. 正常求导，参数保持不变
  3. 利用导数值和参数关系建立方程
  4. 解方程求参数值
参数示例

已知 \( f(x) = \frac{6}{k\sqrt{x}} + 2x \) 且 \( f'(1) = 5 \)，求k：

1. 求导：\( f'(x) = \frac{6}{k} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} + 2 = -\frac{3}{k\sqrt{x^3}} + 2 \)

2. 代入x=1：\( f'(1) = -\frac{3}{k} + 2 = 5 \)

3. 解方程：\( -\frac{3}{k} = 3 \)，\( k = -1 \)

求导法则的扩展应用

多项式函数求导

一般多项式函数 \( y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \) 的导数：

\[ \frac{dy}{dx} = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1 \]

常数项导数为0。

多项式示例

求 \( y = 4x^5 - 3x^3 + 2x^2 - 7x + 1 \) 的导数：

\( y' = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x - 7 = 20x^4 - 9x^2 + 4x - 7 \)

注意事项

  • 逐项求导：即使函数看起来复杂，也要坚持逐项求导的原则
  • 化简优先：在求导前尽可能化简函数形式，可以大大简化计算
  • 符号注意：求导时要特别注意正负号，尤其是负指数幂的情况
  • 定义域：注意函数的定义域，避免在不可导点求导
易错提醒

求 \( y = \frac{x^2 - 1}{x} \) 的导数，很多学生直接求导得到 \( \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{x} \)，但正确应该是先化简为 \( x - \frac{1}{x} \)，导数为 \( 1 + \frac{1}{x^2} \)。