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8.6 Gradients, Tangents and Normals

章节总结 - 切线与法线核心要点回顾

章节总结：切线与法线

核心概念回顾

1. 基本定义

  • 切线：曲线在某点的瞬时变化率，表示曲线的斜率
  • 法线：垂直于切线的直线，与切线互为负倒数关系
  • 梯度：导数值，决定切线的陡峭程度

2. 几何意义

  • 导数 \( f'(a) \) 是曲线在 \( x=a \) 处的切线梯度
  • 法线梯度 \( m = -\frac{1}{f'(a)} \)（当 \( f'(a) \neq 0 \)）
  • 垂直性：切线和法线的梯度乘积为 -1

重要公式

切线方程

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

法线方程

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \]

相切条件（判别式）

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 0 \]
公式应用要点
  • 切线和法线都使用相同的点斜式：\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
  • 相切意味着直线与曲线只有一个交点
  • 判别式为0表示二次方程有重根，即相切

典型题型及解题方法

1. 求切线方程

  • 步骤：求导 → 求梯度 → 写方程
  • 关键：导数计算正确，点斜式应用准确
  • 常见错误：忘记求导或代入错误

2. 求法线方程

  • 步骤：求导 → 求梯度 → 取负倒数 → 写方程
  • 关键：法线梯度 = -1/(切线梯度)
  • 注意：切线梯度不能为0

3. 切线与法线交点

  • 步骤：分别求两方程 → 联立求解
  • 关键：正确联立两个直线方程
  • 技巧：代入消元或求差值

4. 相切直线问题

  • 步骤：设直线方程 → 联立 → 判别式=0 → 求参数
  • 关键：正确构造二次方程并设判别式为0
  • 注意：可能有多解，需要验证

易错点分析

常见错误及避免方法

错误1：忘记求导

现象：直接用原函数值作为梯度

避免：记住切线梯度是导数值，不是原函数值

错误2：法线梯度算错

现象：法线梯度写成 -f'(a) 而不是 -1/f'(a)

避免：记住法线梯度是切线梯度的负倒数

错误3：相切条件误用

现象：在求相切直线时忘记设判别式为0

避免：相切意味着只有一个交点，对应的二次方程有重根

错误4：联立方程错误

现象：联立两个方程时计算错误

避免：仔细代入消元，注意符号和系数

解题策略总结

基本解题框架

  1. 理解题意：明确是求切线、法线还是相切直线
  2. 求导计算：正确计算函数的导数
  3. 梯度求解：将指定x值代入导数
  4. 方程构造：使用点斜式写直线方程
  5. 联立求解：根据题目要求求交点或特定条件
  6. 验证结果：检查计算是否正确

高级技巧

  • 参数法：设切点为参数，构造方程组
  • 判别式法：利用二次方程判别式求相切条件
  • 几何性质：利用切线与法线的垂直关系