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8.6 Gradients, Tangents and Normals

切线与法线 - 用导数求解曲线切线和法线方程

核心知识与解题示例

1. 切线与法线的基本公式

切线方程

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

法线方程

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \]

2. 典型例题：曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) 在 \( (3, 5) \) 处的切线

求导步骤

  1. 求导：\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2 \)。
  2. 代入 \( x=3 \) 得切线梯度：\( 3×3² - 6×3 + 2 = 11 \)。
  3. 切线方程：用点斜式 \( y - 5 = 11(x - 3) \)，化简为 \( y = 11x - 28 \)。
详细解答

求导：原函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 2 \)

代入x=3： \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 2 = 3×9 - 18 + 2 = 27 - 18 + 2 = 11 \)

切线方程： \( y - 5 = 11(x - 3) \)
\( y - 5 = 11x - 33 \)
\( y = 11x - 33 + 5 \)
\( y = 11x - 28 \)

3. 练习：曲线 \( y = x² + 1 \) 的切线与法线交点

步骤1：求 \( (2, 5) \) 处的切线

导数 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)，\( x=2 \) 时梯度为 \( 4 \)，切线方程：\( y - 5 = 4(x - 2) \)，即 \( y = 4x - 3 \)。

步骤2：求 \( (1, 2) \) 处的法线

\( x=1 \) 时切线梯度为 \( 2 \)，法线梯度为 \( -\frac{1}{2} \)，法线方程：\( y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1) \)，即 \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \)。

步骤3：求交点

联立 \( \begin{cases} y = 4x - 3 \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \end{cases} \)，解得 \( x=1 \)，\( y=1 \)，交点为 \( (1, 1) \)。

详细计算过程

切线方程：
\( \frac{dy}{dx} = 2x \)
\( f'(2) = 2×2 = 4 \)
\( y - 5 = 4(x - 2) \)
\( y = 4x - 8 + 5 = 4x - 3 \)

法线方程：
\( f'(1) = 2×1 = 2 \)
法线梯度 \( m = -\frac{1}{2} \)
\( y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1) \)
\( y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \)

求交点：
\( 4x - 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \)
\( 4x + \frac{1}{2}x = \frac{5}{2} + 3 \)
\( \frac{9}{2}x = \frac{11}{2} \)
\( x = 1 \)
\( y = 4(1) - 3 = 1 \)

4. 挑战题：与 \( y = 4x² + 1 \) 相切且过 \( (0, -8) \) 的直线

解题思路

  1. 设切线为 \( y = mx - 8 \)（过 \( (0, -8) \)）。
  2. 联立 \( mx - 8 = 4x² + 1 \)，得 \( 4x² - mx + 9 = 0 \)。
  3. 相切时判别式 \( \Delta = m² - 144 = 0 \)，得 \( m=12 \)（梯度为正）。
  4. 切线方程：\( y = 12x - 8 \)。
详细解答

设切线方程： \( y = mx - 8 \)（过点 \( (0, -8) \)）

联立两个方程：
\( mx - 8 = 4x² + 1 \)
\( 4x² - mx + 9 = 0 \)

相切条件：判别式 \( \Delta = m² - 144 = 0 \)
\( m² = 144 \)
\( m = \pm 12 \)

取正梯度： \( m = 12 \)（切线向上倾斜）

切线方程： \( y = 12x - 8 \)

验证相切：
代入得 \( 4x² - 12x + 9 = 0 \)
判别式 \( 144 - 144 = 0 \)，确实相切

核心要点总结

解题步骤

  1. 求导数：计算函数的导数 \( f'(x) \)
  2. 求梯度：将x值代入导数得到切线梯度
  3. 写方程：使用点斜式 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
  4. 求交点：联立两个方程求解
  5. 相切条件：判别式为0（二次方程有重根）
注意事项
  • 法线梯度是切线梯度的负倒数
  • 相切意味着直线与曲线只有一个交点
  • 判别式 \(\Delta = b² - 4ac = 0\) 表示相切
  • 切线和法线都是直线方程，使用相同的点斜式