二阶导数 - 导数的导数与梯度变化率
二阶导数是"导数的导数"，用于描述梯度函数的变化率。若函数为 \( y = f(x) \)，一阶导数记为 \( \frac{dy}{dx} \)（或 \( f'(x) \)），二阶导数记为 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)（或 \( f''(x) \)）。
计算方法：对函数连续求导两次。
二阶导数有多种表示方式：
对于 \( y = x^3 \)：
1. 一阶导数：\( y' = 3x^2 \)
2. 二阶导数：\( y'' = 6x \)
已知 \( y = 3x^5 + \frac{4}{x^2} \)，求 \( \frac{dy}{dx} \) 和 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)。
将分式 \( \frac{4}{x^2} \) 化为负指数幂：\( \frac{4}{x^2} = 4x^{-2} \)，因此 \( y = 3x^5 + 4x^{-2} \)。
根据幂函数求导法则 \( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \)，逐项求导：
对一阶导数 \( \frac{dy}{dx} = 15x^4 - 8x^{-3} \) 再次求导：
已知 \( f(x) = 3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
将根式化为分数指数幂：\( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)，因此 \( 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}} \)，\( \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)，即 \( f(x) = 3x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \)。
根据幂函数求导法则，逐项求导：
（也可写成 \( \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{4x\sqrt{x}} \)）。
对一阶导数 \( f'(x) = \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \) 再次求导：
（也可写成 \( -\frac{3}{4x\sqrt{x}} + \frac{3}{8x^2\sqrt{x}} \)）。
对于 \( y = x^2 \)：
• 一阶导数：\( y' = 2x \)
• 二阶导数：\( y'' = 2 > 0 \)
二阶导数为正，说明抛物线向上开口（凹函数）。
匀加速直线运动中，位移 \( s = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t + s_0 \)：
• 速度（一阶导数）：\( v = at + v_0 \)
• 加速度（二阶导数）：\( a = a \)（常数）
计算二阶导数时，要先求一阶导数，然后对一阶导数求导。不要试图一步到位计算二阶导数。