Chapter Review 8 - 微分章节核心知识点复习

1. 曲线的梯度

曲线在某点的梯度，定义为该点处切线的梯度。

2. 导数的定义（第一性原理）

函数 \( y = f(x) \) 的梯度函数（导数）记为 \( f'(x) \) 或 \( \frac{dy}{dx} \)，由极限定义：

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

它用于求曲线在任意 \( x \) 处的梯度。

3. 幂函数求导法则（核心公式）

对任意实数 \( n \) 和常数 \( a \)：

若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)

若 \( f(x) = ax^n \)，则 \( f'(x) = anx^{n-1} \)

若 \( y = x^n \)，则 \( \frac{dy}{dx} = nx^{n-1} \)

若 \( y = ax^n \)，则 \( \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \)

示例

求 \( y = 5x^3 \) 的导数，得 \( \frac{dy}{dx} = 5 \times 3x^2 = 15x^2 \)。

4. 二次函数的导数

若二次函数为 \( y = ax^2 + bx + c \)，则导数为：

\[ \frac{dy}{dx} = 2ax + b \]

示例

求 \( y = 3x^2 - 2x + 4 \) 的导数，得 \( \frac{dy}{dx} = 6x - 2 \)。

5. 和差函数的求导（逐项求导）

若 \( y = f(x) \pm g(x) \)，则：

\[ \frac{dy}{dx} = f'(x) \pm g'(x) \]

示例

求 \( y = x^4 + 2x^3 - 5 \) 的导数，得 \( \frac{dy}{dx} = 4x^3 + 6x^2 \)。

6. 切线方程

曲线 \( y = f(x) \) 在点 \( (a, f(a)) \) 处的切线方程为：

\[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

示例

求 \( y = x^2 \) 在 \( (3, 9) \) 处的切线方程：

• 导数 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)，故 \( f'(3) = 6 \)；

• 切线方程：\( y - 9 = 6(x - 3) \)，化简为 \( y = 6x - 9 \)。

7. 法线方程

曲线 \( y = f(x) \) 在点 \( (a, f(a)) \) 处的法线与切线垂直，方程为：

\[ y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a) \quad (f'(a) \neq 0) \]

示例

求 \( y = x^2 \) 在 \( (3, 9) \) 处的法线方程：

• 切线梯度 \( f'(3) = 6 \)，故法线梯度为 \( -\frac{1}{6} \)；

• 法线方程：\( y - 9 = -\frac{1}{6}(x - 3) \)，化简为 \( y = -\frac{1}{6}x + \frac{19}{2} \)。

8. 二阶导数

对函数 \( y = f(x) \)连续求导两次，得到二阶导数，记为 \( f''(x) \) 或 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)，描述"梯度的变化率"。

示例

求 \( y = x^3 \) 的二阶导数：

• 一阶导数：\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \)；

• 二阶导数：\( \frac{d^2y}{dx^2} = 6x \)。

综合例题

已知曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + 1 \)，完成以下任务：

1. 求一阶导数 \( \frac{dy}{dx} \)

逐项求导，\( x^3 \) 导数为 \( 3x^2 \)，\( -2x^2 \) 导数为 \( -4x \)，\( 1 \) 导数为 \( 0 \)，故 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x \)。

2. 求曲线在 \( x = 2 \) 处的切线方程

• 当 \( x = 2 \) 时，\( y = 2^3 - 2 \times 2^2 + 1 = 1 \)，即点 \( (2, 1) \)；

• 切线梯度：\( \frac{dy}{dx}\big|_{x=2} = 3 \times 2^2 - 4 \times 2 = 4 \)；

• 切线方程：\( y - 1 = 4(x - 2) \)，化简为 \( y = 4x - 7 \)。

3. 求曲线在 \( x = 2 \) 处的法线方程

• 切线梯度为 \( 4 \)，故法线梯度为 \( -\frac{1}{4} \)；

• 法线方程：\( y - 1 = -\frac{1}{4}(x - 2) \)，化简为 \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \)。

4. 求二阶导数 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)

对 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x \) 再次求导，得 \( \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 4 \)。

复习建议

牢记幂函数求导法则（最核心工具）；
理解导数的几何意义（切线、法线的梯度来源）；
多练习"逐项求导""二次求导"，保证计算准确性；
结合图像直观理解"切线与法线垂直（斜率乘积为 -1）"。

核心要点：微分章节的核心是理解导数的本质和熟练掌握求导技巧。通过系统复习，可以为后续积分学习打下坚实基础。