9.2 Indefinite Integrals

核心概念回顾

📖 不定积分定义

不定积分是微分的逆运算，用符号 \( \int \) 表示积分操作。

\[ \int f'(x) \, dx = f(x) + c \]

🔢 积分常数

积分常数 \( c \) 是必需的，因为微分时常数项会消失，积分后需要补回所有可能的常数。

📐 积分符号

\( \int \) 源于拉长的"S"，表示"求和"；\( dx \) 表示"对 \( x \) 积分"，指明积分变量。

重要公式总结

幂函数积分公式（核心公式）

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1) \]

记忆口诀："幂次加1，再除以新幂次"

逐项积分法则

\[ \int \left[ f(x) + g(x) \right] dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]

应用：多项式可以逐项分别积分后相加/相减

特殊情况

\[ \int x^{-1} \, dx = \ln|x| + c \quad (n = -1) \]

注意：当 \( n = -1 \) 时，幂函数积分公式不适用，需要使用对数函数

解题技巧总结

        基本步骤
        识别被积函数类型：判断是否为幂函数、多项式或复杂表达式
化简表达式：将复杂表达式展开、改写为幂函数形式
应用积分公式：使用幂函数积分公式或逐项积分法则
添加积分常数：最后必须加上积分常数 \( c \)

      

常见题型与解法

1. 基础幂函数积分

直接应用公式：\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \)

示例：\( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + c \)

2. 含系数的幂函数积分

系数可以提取：\( \int kx^n \, dx = k \int x^n \, dx \)

示例：\( \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + c = x^3 + c \)

3. 多项式积分

逐项积分：\( \int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx \)

示例：\( \int (x^2 + 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + c \)

4. 复杂表达式积分

先化简再积分：展开、改写为幂函数形式

示例：\( \int x(x+1) \, dx = \int (x^2+x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + c \)

常见错误与注意事项

        ⚠️ 常见错误
        忘记积分常数：积分结果必须加上 \( c \)
系数处理错误：系数应该提取出来，不要与积分常数混淆
特殊情况遗漏：当 \( n = -1 \) 时，不能使用幂函数积分公式
化简不彻底：复杂表达式需要先化简为幂函数形式

      

✅ 正确做法

仔细检查被积函数的形式
必要时先化简表达式
逐项应用积分公式
最后添加积分常数
验证结果（对结果求导，看是否得到原被积函数）

学习建议

🎯 重点掌握

幂函数积分公式是核心，必须熟练掌握"幂次加1，再除以新幂次"的规律。

📝 练习方法

多做不同类型的积分练习，从简单到复杂，逐步提高计算速度和准确性。

🔍 验证技巧

积分后对结果求导，如果得到原被积函数，说明积分正确。

📚 后续学习

掌握不定积分后，将学习定积分，这是积分在几何和物理中的重要应用。