一、基本定义与符号
积分是微分的逆过程，我们用符号 \( \int \) 表示"积分操作"。
若函数 \( f'(x) \) 是 \( f(x) \) 的导数，那么 \( f(x) \) 就是 \( f'(x) \) 的原函数。不定积分的表达式为：
符号说明
- \( \int \) 是"积分号"，源于拉长的"S"，表示"求和"（积分本质是无限和的极限）；
- \( f'(x) \) 是被积函数（需积分的函数）；
- \( dx \) 表示"对 \( x \) 积分"，指明积分变量；
- \( c \) 是积分常数（微分时常数项会消失，积分后需补回所有可能的常数）。
二、幂函数的积分公式
对于幂函数 \( x^n \)（\( n \neq -1 \)），积分遵循"幂次加1，再除以新幂次"的规则：
示例理解
- 积分 \( \int x^2 \, dx \)：\( n=2 \)，代入得 \( \frac{x^{2+1}}{2+1} + c = \frac{x^3}{3} + c \)；
- 积分 \( \int x^{-3} \, dx \)（\( x \neq 0 \)）：\( n=-3 \)，代入得 \( \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + c = -\frac{1}{2x^2} + c \)。
三、多项式的逐项积分
对多项式（多项的和/差）积分时，可逐项分别积分后相加/相减，即：
例题与解析
例1：基础幂函数积分
求下列不定积分：
a. \( \int x^5 \, dx \)
b. \( \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx \)（\( x > 0 \)）
解答
a. 由幂函数积分公式，\( n=5 \)，得：
\[
\int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + c = \frac{x^6}{6} + c
\]
b. \( n=-\frac{1}{2} \)，代入公式：
\[
\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c = 2\sqrt{x} + c
\]
例2：含系数的幂函数积分
求 \( \int 4x^3 \, dx \)。
解答
系数 \( 4 \) 提取后对 \( x^3 \) 积分：
\[
\int 4x^3 \, dx = 4 \times \int x^3 \, dx = 4 \times \frac{x^4}{4} + c = x^4 + c
\]
例3：多项式的逐项积分
求 \( \int \left( 2x^2 + 5x - \frac{3}{x^2} \right) dx \)（\( x \neq 0 \)）。
解答
先将 \( \frac{3}{x^2} \) 改写为 \( 3x^{-2} \)，再逐项积分：
- \( \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} + c_1 \)；
- \( \int 5x \, dx = \frac{5x^2}{2} + c_2 \)；
- \( \int -3x^{-2} \, dx = \frac{3}{x} + c_3 \)；
合并常数 \( c_1,c_2,c_3 \) 为 \( c \)，得：
\[
\int \left( 2x^2 + 5x - \frac{3}{x^2} \right) dx = \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + \frac{3}{x} + c
\]
例4：先化简再积分
求 \( \int x \left( x + \frac{2}{x^3} \right) dx \)（\( x \neq 0 \)）。
解答
第一步：展开并化简被积函数：
\[
x \left( x + \frac{2}{x^3} \right) = x^2 + \frac{2}{x^2} = x^2 + 2x^{-2}
\]
第二步：逐项积分：
- \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + c_1 \)；
- \( \int 2x^{-2} \, dx = -\frac{2}{x} + c_2 \)；
合并常数，结果为：
\[
\int x \left( x + \frac{2}{x^3} \right) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + c
\]
核心要点总结
重要概念
- 不定积分是微分的逆运算，结果需加"积分常数 \( c \)"；
- 幂函数积分规则：\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \)（\( n \neq -1 \)）；
- 多项式积分需逐项处理，系数参与"除以新幂次"的运算；
- 复杂被积函数先化简（展开、改写为幂函数），再积分。
课后练习示例
求 \( \int \left( 3\sqrt{x} + \frac{4}{x^4} \right) dx \)、\( \int (2x - 1)^2 dx \)，巩固技巧。