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9.3 Finding Functions

确定原函数 - 通过已知条件求解积分常数

一、核心原理

在不定积分中，积分结果会包含积分常数 \( c \)。若要得到唯一的原函数，需结合"函数经过某一点"或"函数在某点的取值"来求解 \( c \)。

基本原理

若已知导数 \( f'(x) \)，原函数形式为 \( f(x) = \int f'(x) \, dx + c \)（含 \( c \)）。

利用"函数经过点 \( (x_0, y_0) \)"或"\( f(x_0) = k \)"，将 \( x = x_0 \)、\( y = y_0 \)（或 \( f(x_0) = k \)）代入原函数，可解出 \( c \)。

二、步骤总结

解题步骤

  1. 积分求原函数（含 \( c \)）：对导数 \( f'(x) \) 积分，得到含 \( c \) 的原函数 \( f(x) \)。
  2. 代入已知点求 \( c \)：将已知点 \( (x_0, y_0) \) 代入 \( f(x) \)，解关于 \( c \) 的方程。
  3. 写出最终函数：将 \( c \) 代入原函数，得到唯一表达式。

一般步骤

\[ \begin{align} f(x) &= \int f'(x) \, dx + c \quad \text{（含常数）} \\ f(x_0) &= k \quad \text{（代入已知条件）} \\ c &= \text{求解结果} \\ f(x) &= \text{最终函数} \end{align} \]

三、例题解析

例1：曲线方程的确定

曲线 \( C \)：\( y = f(x) \) 过点 \( (2, 7) \)，且 \( f'(x) = 3x^2 + 2 \)，求曲线方程。

解答

步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）

对 \( f'(x) = 3x^2 + 2 \) 积分：

\[ f(x) = \int (3x^2 + 2) \, dx = x^3 + 2x + c \]

步骤2：代入已知点求 \( c \)

曲线过 \( (2, 7) \)，即 \( x=2 \) 时 \( y=7 \)，代入得：

\[ 7 = 2^3 + 2 \times 2 + c \implies c = -5 \]

步骤3：最终方程

\[ y = x^3 + 2x - 5 \]

例2：含根式的函数积分

函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x}} \)（\( x > 0 \)），且 \( f(4) = 10 \)，求 \( f(x) \)。

解答

步骤1：化简导数并积分

将 \( \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x}} \) 化为幂函数：\( x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \)，积分得：

\[ f(x) = \int \left( x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \right) dx = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + c \]

步骤2：代入 \( x=4 \) 求 \( c \)

当 \( x=4 \) 时，\( x^{\frac{7}{2}} = 128 \)，\( x^{\frac{1}{2}} = 2 \)，代入 \( f(4) = 10 \)：

\[ 10 = \frac{2}{7} \times 128 - 2 \times 2 + c \implies c = -\frac{158}{7} \]

步骤3：最终函数

\[ f(x) = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - 2\sqrt{x} - \frac{158}{7} \]

例3：运动学中的积分应用

质点速度 \( v(t) = 6t - 3 \)（m/s），\( t=0 \) 时位移 \( s(0) = 5 \) m，求位移函数 \( s(t) \)。

解答

步骤1：积分求位移（含 \( c \)）

位移是速度的积分，对 \( v(t) = 6t - 3 \) 积分：

\[ s(t) = \int (6t - 3) dt = 3t^2 - 3t + c \]

步骤2：代入 \( t=0 \) 求 \( c \)

\( t=0 \) 时 \( s(0) = 5 \)，代入得 \( c = 5 \)。

步骤3：最终位移函数

\[ s(t) = 3t^2 - 3t + 5 \]

四、课堂练习

练习题

  1. 曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (1, 4) \)，且 \( f'(x) = 2x + 1 \)，求曲线方程。
  2. 函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x^2 \)（\( x > 0 \)），且 \( f(1) = 3 \)，求 \( f(x) \)。
  3. 质点加速度 \( a(t) = 4t \)（m/s²），\( t=0 \) 时速度 \( v(0) = 2 \) m/s、位移 \( s(0) = 1 \) m，求：
    • 速度函数 \( v(t) \)；
    • 位移函数 \( s(t) \)。

练习答案（部分）

  1. 积分得 \( f(x) = x^2 + x + c \)，代入 \( (1, 4) \) 得 \( c = 2 \)，故 \( y = x^2 + x + 2 \)。
  2. 化简 \( f'(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} + x^2 \)，积分得 \( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} + c \)，代入 \( x=1 \) 得 \( c = -\frac{4}{3} \)，故 \( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3} \)。
  3. ① 速度：\( v(t) = 2t^2 + 2 \)；② 位移：\( s(t) = \frac{2t^3}{3} + 2t + 1 \)。

总结

核心要点

通过"积分求原函数（含 \( c \)）→ 代入已知点求 \( c \) → 确定最终函数"的步骤，可从导数唯一确定原函数。这一方法在数学（曲线方程）和物理（运动学）中广泛应用。

应用领域

  • 数学：确定曲线方程、函数表达式
  • 物理：运动学问题（位移、速度、加速度关系）
  • 工程：优化问题、建模问题