积分章节核心知识点总结 - 系统复习与综合应用
积分是微分的"逆运算"——微分是"从原函数求导数"，积分是"从导数（或微分式）还原原函数（含常数项）"。
积分与微分是互逆的运算关系：
其中 \( c \) 是积分常数，因为微分时常数的导数为0，积分时需要补回所有可能的常数。
积分需遵循"幂次加1，再除以新幂次"的规则，且结果含积分常数 \( c \)。
若 \( \frac{dy}{dx} = x^n \)（或 \( f'(x) = x^n \)），则原函数为：
若 \( \frac{dy}{dx} = kx^n \)（或 \( f'(x) = kx^n \)），则原函数为：
（常数 \( k \) 参与"除以新幂次"的运算，积分常数 \( c \) 不与 \( k \) 相乘）
对多项式（多项式的和/差）积分时，需逐项分别积分后相加/相减，即：
求 \( \int (2x^3 - 5x + \frac{1}{x^2}) dx \)（\( x \neq 0 \)）：
最终结果：\( \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{x} + c \)
不定积分的结果含 \( c \)，表示"一族函数"。若要得到唯一的原函数，需结合"函数经过某一点 \( (x_0, y_0) \)"或"函数在某点的取值 \( f(x_0) = k \)"，步骤为：
曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (1, 3) \)，且 \( \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \)，求曲线方程：
积分是"微分的逆操作"，核心规则围绕"幂次调整（加1后除新幂次）"展开；多项式积分需"逐项处理"；积分常数的确定依赖"额外的点信息"，以锁定唯一的原函数。