P1 公式手册 - Edexcel A-Level 纯数学1

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代数表达式

指数法则

$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$

$$ a^m \div a^n = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

$$ (ab)^n = a^n b^n $$

同底数幂的运算法则，包括乘法、除法和幂运算

因式分解

$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $$

$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$

$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

平方差公式和完全平方公式

根式运算

$$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

根式的基本运算法则和有理化

2

二次方程

二次方程求根公式

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

标准二次方程 ax² + bx + c = 0 的求根公式

示例：

解方程 2x² - 5x + 3 = 0
a=2, b=-5, c=3
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} $$

配方法

$$ ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + (c - \frac{b^2}{4a}) $$

将二次方程转换为完全平方形式

判别式

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

Δ > 0：两个不同实根
Δ = 0：两个相同实根
Δ < 0：无实根

3

方程和不等式

线性方程组

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

消元法或代入法求解

二次不等式

$$ ax^2 + bx + c > 0 $$

$$ ax^2 + bx + c < 0 $$

通过求根和符号分析求解

绝对值不等式

$$ |x| < a \Rightarrow -a < x < a $$

$$ |x| > a \Rightarrow x < -a \text{ 或 } x > a $$

绝对值不等式的解法

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图形和变换

函数变换

$$ y = f(x) + a $$

$$ y = f(x + a) $$

$$ y = af(x) $$

$$ y = f(ax) $$

平移、伸缩变换的基本规则

反函数

$$ f^{-1}(f(x)) = x $$

$$ f(f^{-1}(x)) = x $$

反函数的定义和性质

复合函数

$$ f \circ g(x) = f(g(x)) $$

复合函数的运算规则

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直线图形

直线方程

$$ y = mx + c $$

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $$

斜截式、点斜式、截距式

平行和垂直

$$ m_1 = m_2 $$

$$ m_1 \times m_2 = -1 $$

平行直线斜率相等，垂直直线斜率乘积为-1

距离公式

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

$$ A = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| $$

两点间距离和三角形面积公式

6

三角比

基本三角比

$$ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $$

$$ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $$

$$ \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $$

正弦、余弦、正切的定义

正弦定理

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

任意三角形中边与对角正弦值的关系

余弦定理

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A $$

$$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$

任意三角形中边与角的关系

三角形面积

$$ A = \frac{1}{2}ab\sin C $$

利用两边和夹角计算三角形面积

7

弧度

弧度定义

$$ 1 \text{弧度} = \frac{180^\circ}{\pi} $$

$$ \theta_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180} \times \theta_{\text{deg}} $$

弧度与角度的转换关系

弧长公式

$$ l = r\theta $$

弧长等于半径乘以弧度

扇形面积

$$ A = \frac{1}{2}r^2\theta $$

扇形面积公式

弓形面积

$$ A_{\text{segment}} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta) $$

弓形面积等于扇形面积减去三角形面积

8

微分

基本导数公式

$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$

$$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$

$$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $$

$$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$

常见函数的导数公式

微分法则

$$ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) $$

$$ \frac{d}{dx}[kf(x)] = kf'(x) $$

$$ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

和差、常数倍、乘积法则

二阶导数

$$ f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} $$

二阶导数表示函数的凹凸性

切线和法线

$$ y - y_1 = m_t(x - x_1) $$

$$ y - y_1 = -\frac{1}{m_t}(x - x_1) $$

切线斜率m_t = f'(x)，法线斜率 = -1/m_t

9

积分

基本积分公式

$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$

$$ \int \sin x dx = -\cos x + C $$

$$ \int \cos x dx = \sin x + C $$

$$ \int e^x dx = e^x + C $$

常见函数的不定积分公式

积分法则

$$ \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx $$

$$ \int kf(x)dx = k\int f(x)dx $$

和差、常数倍积分法则

定积分

$$ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $$

牛顿-莱布尼茨公式，F(x)是f(x)的原函数

面积计算

$$ A = \int_a^b f(x)dx $$

$$ A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx $$

曲线与x轴围成的面积，或两条曲线之间的面积