Chapter 2 坐标几何 - 公式表
Coordinate Geometry - Formula Sheet
2.1 中点和垂直平分线
中点公式
\[M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
线段两端点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 的中点坐标
斜率公式
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
通过两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 的直线斜率
垂直条件
\[m_1 \cdot m_2 = -1\]
两条直线互相垂直的条件
点斜式方程
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
通过点 \((x_1, y_1)\) 且斜率为 \(m\) 的直线方程
2.2 圆的方程
圆的标准方程
\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]
圆心为 \((a,b)\)，半径为 \(r\) 的圆
圆心在原点的圆
\[x^2 + y^2 = r^2\]
圆心在原点 \((0,0)\)，半径为 \(r\) 的圆
圆的一般方程
\[x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\]
圆的一般形式方程
圆心和半径公式
\[\text{圆心} = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\] \[r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}}\]
从一般方程求圆心和半径
2.3 直线与圆的交点
判别式
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
二次方程的判别式，用于判断交点个数
交点个数判断
\[\begin{cases} \Delta > 0 & \text{两个交点} \\ \Delta = 0 & \text{一个交点（相切）} \\ \Delta < 0 & \text{无交点} \end{cases}\]
根据判别式判断直线与圆的交点个数
2.4 距离公式
两点间距离
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]
两点 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 之间的距离
点到直线距离
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
点 \((x_0, y_0)\) 到直线 \(Ax + By + C = 0\) 的距离
2.5 图像绘制
直线方程形式
\[y = mx + c\] \[Ax + By + C = 0\]
直线的斜截式和一般式
平行条件
\[m_1 = m_2\]
两条直线平行的条件
重要提示
• 中点公式是坐标几何的基础工具
• 垂直条件 \(m_1 \cdot m_2 = -1\) 是判断垂直的关键
• 圆的标准方程直接显示圆心和半径
• 判别式用于判断直线与圆的交点情况
• 距离公式在几何证明中经常使用
常见错误
• 垂直斜率计算错误（应该是负倒数，不是负数）
• 忘记垂直平分线必须通过中点
• 圆的方程中符号错误
• 判别式计算错误
• 距离公式中坐标顺序错误