Chapter 3 指数与对数 - 公式表
Exponentials and Logarithms - Formula Sheet
3.1 指数函数
指数函数定义
\[f(x) = a^x \text{ 其中 } a > 0, a \neq 1\]
指数函数的一般形式
指数运算法则
\[a^x \cdot a^y = a^{x+y}\] \[\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\] \[(a^x)^y = a^{xy}\]
指数运算的基本法则
特殊值
\[a^0 = 1\] \[a^1 = a\] \[a^{-x} = \frac{1}{a^x}\]
指数的特殊值
3.2 对数函数
对数定义
\[\log_a n = x \Leftrightarrow a^x = n\]
对数和指数之间的基本等价关系
对数的基本性质
\[\log_a a = 1\] \[\log_a 1 = 0\] \[\log_a (a^k) = k\]
对数的基本性质
自然对数
\[\ln x = \log_e x\] \[e^{\ln x} = x\] \[\ln(e^x) = x\]
自然对数的定义和性质
3.3 对数运算法则
乘法法则
\[\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\]
两个同底对数的和等于它们真数乘积的对数
除法法则
\[\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)\]
两个同底对数的差等于它们真数商的对数
幂法则
\[\log_a(x^k) = k\log_a x\]
真数的幂可以提到对数前面作为系数
倒数法则
\[\log_a\left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x\]
倒数的对数等于原对数的相反数
3.4 换底公式
换底公式
\[\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\]
将对数从底数a转换为底数b
常用换底公式
\[\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\] \[\log_a x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} a}\]
换底公式的特殊形式
3.5 指数对数方程
指数方程解法
\[a^x = b \Rightarrow x = \log_a b\]
指数方程的基本解法
对数方程解法
\[\log_a x = b \Rightarrow x = a^b\]
对数方程的基本解法
复合方程
\[a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow f(x)\log a = g(x)\log b\]
复合指数方程的解法
重要提示
• 指数函数的底数必须大于0且不等于1
• 对数的真数必须大于0
• 对数运算法则只适用于同底对数
• 换底公式在计算中非常有用
• 解方程时要注意定义域的限制
常见错误
• 忘记检查对数的定义域
• 错误应用对数运算法则
• 混淆指数和对数的运算
• 换底公式应用错误
• 解方程时忽略定义域