Chapter 4 二项式展开 - 公式表
Binomial Expansion - Formula Sheet
4.1 帕斯卡三角形
帕斯卡三角形性质
\[C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)\]
帕斯卡三角形的递推关系
对称性
\[C(n, r) = C(n, n-r)\]
组合数的对称性质
4.2 阶乘记号
阶乘定义
\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\]
阶乘的定义
特殊值
\[0! = 1\] \[1! = 1\]
阶乘的特殊值
组合数公式
\[C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
用阶乘表示组合数
4.3 二项式定理
二项式定理
\[(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r\]
二项式定理的一般形式
特殊情况
\[(1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) x^r\]
当a=1时的特殊情况
展开式
\[(a + b)^n = a^n + na^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n\]
二项式展开的完整形式
4.4 二项式问题求解
特定项系数
\[\text{第}(r+1)\text{项系数} = C(n, r)\]
二项式展开中第(r+1)项的系数
最大系数
\[\text{最大系数} = C(n, \lfloor n/2 \rfloor)\]
二项式展开中的最大系数
4.5 二项式估计
近似公式
\[(1 + x)^n \approx 1 + nx \text{ (当}|x| \ll 1\text{)}\]
当x很小时的近似公式
误差估计
\[\text{误差} \approx \frac{n(n-1)}{2}x^2\]
近似公式的误差估计
重要提示
• 二项式定理适用于正整数指数
• 组合数C(n,r)表示从n个元素中选r个的方法数
• 帕斯卡三角形是计算组合数的有效工具
• 二项式估计在近似计算中很有用
• 注意二项式展开的收敛条件
常见错误
• 混淆组合数C(n,r)和排列数P(n,r)
• 忘记二项式定理只适用于正整数指数
• 计算组合数时阶乘计算错误
• 二项式估计时忽略收敛条件
• 特定项系数计算错误