【真题 1】2024年6月 Paper 1, Q2 (假分式转化)
题目：已知 $g(x) = \frac{2x^2 - 5x + 8}{x - 2}$，将其写成 $Ax + B + \frac{C}{x - 2}$ 的形式。
分步解答策略：
- 方法选择：由于是2次除以1次，可直接使用长除法。
- 执行除法：
- $2x^2 \div x = 2x$。
- $(2x) \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x$。
- 余项计算：$(-5x) - (-4x) = -x$，将 $8$ 落下，变为 $-x + 8$。
- $-x \div x = -1$。
- $(-1) \cdot (x - 2) = -x + 2$。
- 最终余数：$8 - 2 = 6$。
- 得出结论：$A=2, B=-1, C=6$。表达式为 $2x - 1 + \frac{6}{x - 2}$。
【真题 2】2022年10月 Paper 1, Q1 (高次假分式)
题目：将 $f(x) = \frac{2x^3 - 4x^2 + 15}{x^2 + 3x + 4}$ 写成 $Ax + B + \frac{Cx + D}{x^2 + 3x + 4}$ 的形式。
分步解答策略：
- 执行长除法：
- $2x^3 \div x^2 = 2x$。用 $2x$ 乘以分母得到 $2x^3 + 6x^2 + 8x$。
- 相减得到：$-10x^2 - 8x + 15$。
- $-10x^2 \div x^2 = -10$。用 $-10$ 乘以分母得到 $-10x^2 - 30x - 40$。
- 相减得到最终余数：$22x + 55$。
- 得出结论：$A=2, B=-10, C=22, D=55$。
- 考试提示：若题目要求结果为 $p + \ln q$ 的积分形式，此类代数转化是必须的第一步。
【真题 3】2025年1月 (模拟/预测) Paper 1, Q4 (四次项处理)
题目：已知 $\frac{4x^4 + 2x^2 + 3x + 8}{x^2 + 2} \equiv Ax^2 + B + \frac{Cx + D}{x^2 + 2}$，求 $A, B, C, D$。
分步解答策略：
- 待定系数法/长除法：
- $4x^4 \div x^2 = 4x^2$。$4x^2(x^2 + 2) = 4x^4 + 8x^2$。
- 相减：$(2x^2 - 8x^2) + 3x + 8 = -6x^2 + 3x + 8$。
- $-6x^2 \div x^2 = -6$。$-6(x^2 + 2) = -6x^2 - 12$。
- 最终余数：$(3x + 8) - (-12) = 3x + 20$。
- 验证 D = 0 的情况：注意某些题目（如Jan 25 Q4原题）可能通过特定系数使 $D=0$。在本练习例题中，结果为 $4x^2 - 6 + \frac{3x + 20}{x^2 + 2}$。