第二章：函数与图像 (Functions and Graphs)

题目：已知 $f(x) = 2|x - 5| + 10$。

(a) 写出顶点 $P$ 的坐标。

(b) 解不等式 $2|x - 5| + 10 > 6x$。

(c) 当 $y = f(x)$ 变换为 $y = 3f(x - 2)$ 时，求 $P$ 映射后的点。

分步解答过程：

1. (a) 顶点坐标：根据 $y = a|x - h| + k$ 形式，顶点为 $(h, k)$，故 $P(5, 10)$。
2. (b) 解不等式：
   • 移除绝对值号：当 $x < 5$ 时，解 $2(-(x - 5)) + 10 > 6x$。
   • $-2x + 10 + 10 > 6x \Rightarrow 20 > 8x \Rightarrow x < 2.5$。
   • 验证图象，另一支无满足条件的实数解，故结果为 $x < 2.5$。
3. (c) 图像变换：
   • $f(x - 2)$ 表示向右平移 2 个单位：$x$ 坐标 $5 + 2 = 7$。
   • $3f(\dots)$ 表示 $y$ 坐标乘以 3：$y$ 坐标 $10 \times 3 = 30$。
   • 结果：(7, 30)。

题目：已知 $f(x) = 2x^2 - 5, x \ge 0$。

(a) 求 $f$ 的值域。

(b) 在图上画出 $y = f^{-1}(x)$。

(c) 求 $f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 交点 $P$ 的精确 $x$ 坐标。

分步解答过程：

1. (a) 值域：由于 $x \ge 0$，最小值为 $f(0) = -5$，故 $f(x) \ge -5$。
2. (b) 画图：将原函数 $f(x)$ 关于 $y=x$ 进行对称翻折。曲线应起始于 $y$ 轴上的 $(-5, 0)$ 点，且位于第一、二象限。
3. (c) 求交点：
   • 策略：$f(x)$ 与 $f^{-1}(x)$ 的交点一定在直线 $y = x$ 上。
   • 列方程：$2x^2 - 5 = x \Rightarrow 2x^2 - x - 5 = 0$。
   • 使用求根公式：$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-5)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$。
   • 根据 $x \ge 0$ 排除负根，得 $x = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$。

题目：$f(x) = \frac{x+3}{x-4}, x \neq 4$；$g(x) = x^2 + 5, x > 0$。求 $gf(a) = 7$ 的精确解。

分步解答过程：

1. 外层剥离：$g(f(a)) = 7 \Rightarrow (f(a))^2 + 5 = 7 \Rightarrow (f(a))^2 = 2$。
2. 提取 $f(a)$：$f(a) = \sqrt{2}$（注意题目给定 $x>0$ 且 $g(x)=x^2+5$，由于结果需满足 $g$ 的输入要求且 $f(x)$ 在交点处的值需对应，通常取正值，需结合具体值域判断）。
3. 代入 $f$ 的规则：$\frac{a+3}{a-4} = \sqrt{2}$。
4. 解 $a$：$a + 3 = \sqrt{2}a - 4\sqrt{2} \Rightarrow a(\sqrt{2} - 1) = 3 + 4\sqrt{2}$。
5. 有理化/精简：$a = \frac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} - 1} = (4\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} + 1) = 8 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 3 = 11 + 7\sqrt{2}$。