第四章：三角恒等式与公式 (Trigonometric Addition Formulae)
本章是 P3 考试中逻辑推导最强、公式组合最灵活的章节。它不仅要求熟练记忆和应用和角公式 (Addition Formulae) 与二倍角公式 (Double-angle Formulae)，还要求掌握将 $a\cos\theta \pm b\sin\theta$ 转化为 $R$ 形式的技巧。
1. 核心知识点梳理
1.1 和角与差角公式
- 正弦：$\sin(A \pm B) \equiv \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$。
- 余弦：$\cos(A \pm B) \equiv \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$（注意符号相反）。
- 正切：$\tan(A \pm B) \equiv \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$。
1.2 二倍角公式 (Double-angle Formulae)
- $\sin 2A \equiv 2\sin A \cos A$。
- $\cos 2A$ 的三种形式（极其重要）：
- $\cos^2 A - \sin^2 A$。
- $2\cos^2 A - 1$（常用于消去 $\cos^2$ 项）。
- $1 - 2\sin^2 A$（常用于消去 $\sin^2$ 项）。
- $\tan 2A \equiv \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$。
1.3 $R\sin(\theta \pm \alpha)$ 或 $R\cos(\theta \mp \alpha)$ 形式
用于简化形如 $a\sin\theta + b\cos\theta$ 的表达式。
- $R = \sqrt{a^2 + b^2}$。
- $\tan\alpha = \frac{b}{a}$（需根据具体展开式确定 $a$ 和 $b$ 的对应关系）。
- 最值应用：表达式的最大值为 $R$，最小值为 $-R$。
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
【真题 1】2024年6月 WMA13/01, Q7 (和角公式综合应用)
题目：已知 $2\sin(x + 45^\circ) = \cos(x - 60^\circ)$，证明 $\tan x = -2 - \sqrt{3}$。
分步解答过程：
- 展开等式：利用和角公式展开两边：
- $2(\sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ) = \cos x \cos 60^\circ + \sin x \sin 60^\circ$。
- 代入精确值：代入 $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$：
- $2(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$。
- 化简并收集项：将 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的项分别移至等号两边：
- $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{2}\cos x = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$。
- 构造 $\tan x$：方程两边同除以 $\cos x$（并利用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$）：
- $\tan x(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - \sqrt{2}$。
- 得出结论：通过有理化或代数变形证明最终结果为 $-2 - \sqrt{3}$。
【真题 2】2024年6月 WMA13/01, Q4 (二倍角与 $R$ 形式)
题目：$f(x) = 8\sin x \cos x + 4\cos^2 x - 3$。将其写成 $R\sin(2x + \alpha) + c$ 的形式。
分步解答过程：
- 利用二倍角公式转换：
- $8\sin x \cos x = 4(2\sin x \cos x) = 4\sin 2x$。
- $4\cos^2 x$ 利用 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 转换为 $2\cos 2x + 2$。
- 整理表达式：$f(x) = 4\sin 2x + (2\cos 2x + 2) - 3 = 4\sin 2x + 2\cos 2x - 1$。
- 计算 $R$ 和 $\alpha$：
- $R = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
- $\tan \alpha = \frac{2}{4} = 0.5 \Rightarrow \alpha \approx 0.464$ rad。
- 最终形式：$f(x) = 2\sqrt{5}\sin(2x + 0.464) - 1$。
【真题 3】2023年10月 WMA13/01, Q8 (恒等式证明与方程解)
题目：证明 $2\csc^2 2\theta(1 - \cos 2\theta) \equiv 1 + \tan^2 \theta$。
分步解答过程：
- 处理左侧 (LHS)：将 $\csc$ 转换为 $\sin$：
- $LHS = \frac{2(1 - \cos 2\theta)}{\sin^2 2\theta}$。
- 代入二倍角公式：代入 $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ 和 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$：
- $LHS = \frac{2(2\sin^2 \theta)}{(2\sin \theta \cos \theta)^2} = \frac{4\sin^2 \theta}{4\sin^2 \theta \cos^2 \theta}$。
- 约分：得 $\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$。
- 利用恒等式：根据 $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ 完成证明。
3. 考前一周：解题套路总结
- 公式逆用：考试经常考查公式的逆向应用（如看到 $2\sin A \cos A$ 立即反应为 $\sin 2A$），这在简化大题中非常关键。
- $R$ 形式的选择：
- 若要求最大值，选择 $R\sin(\dots)$ 或 $R\cos(\dots)$ 均可，但通常题目会指定形式。
- 最大值发生的位置：对于 $R\sin(2x + \alpha)$, 最大值在 $2x + \alpha = \frac{\pi}{2}$ 时取得。
- 证明题的切入点：
- 总是从较复杂的一侧（通常是左侧 LHS）开始推导。
- 如果目标式只有 $\tan$，尝试将所有项除以 $\cos$ 或使用 $\frac{\sin}{\cos}$ 替换。
- 精确值陷阱：如果题目出现 $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, \pi/6$ 等，严禁使用计算器的小数结果，必须保留根号形式。
💡 理解小贴士
三角恒等式变换就像是"拼图游戏"：
公式就是你的拼图块。有时候你手里拿着两个半片（比如 $\sin A \cos B$ 和 $\cos A \sin B$），你需要把它们拼成一个完整的图案（$\sin(A+B)$）。在 P3 中，当你觉得走投无路时，换一种二倍角公式的形式（尤其是 $\cos 2A$ 的三种形式），往往能让原本复杂的拼图瞬间咬合。