第一章：证明 (Proof)
本章是P4考试的核心基础，主要考查反证法 (Proof by Contradiction)。反证法是一种严密的逻辑推理方法，在考试中必须完整呈现四个阶段：假设 (Assumption)、推导 (Deduction)、矛盾 (Contradiction) 和结论 (Conclusion)。本章内容通常出现在前几题或作为压轴题的逻辑基础，分值通常在 4-5 分。
1. 核心知识点回顾：反证法 (Proof by Contradiction)
反证法的四个阶段
根据 P4 教材大纲，反证法的逻辑结构非常严密，考试时必须完整呈现以下四个阶段：
- 假设 (Assumption)：假设命题的结论不成立（即命题的否定为真）。
- 推导 (Deduction)：从假设出发，运用代数运算、已知定理或恒等式进行逻辑推理。
- 矛盾 (Contradiction)：在推导过程中，发现一个与题目已知条件、基本数学事实（如平方数非负）或最初假设相违背的结果。
- 结论 (Conclusion)：声明最初的假设是错误的，因此原命题必须成立。
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
反证法在 P4 考试中通常出现在前几题或作为压轴题的逻辑基础。以下是三类典型题型的深度解析：
【题型 A：曲线交点证明】2024年10月 Q2
题目：证明曲线 $C_1: y = \frac{4x-2}{x-10}$ 与 $C_2: y = \frac{x-2}{x-7}$ 没有交点。
分步解答策略：
- Step 1（假设）：假设 $C_1$ 与 $C_2$ 存在交点，即存在某个 $x$ 使得 $\frac{4x-2}{x-10} = \frac{x-2}{x-7}$。
- Step 2（推导）：交叉相乘得 $(4x-2)(x-7) = (x-2)(x-10)$。展开并整理成一元二次方程：$3x^2 - 18x + 34 = 0$。
- Step 3（寻找矛盾）：检查判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(3)(34) = 324 - 408 = -84$。
- Step 4（结论）：由于 $\Delta < 0$，该方程无实数解，这与"存在交点"的假设相矛盾。因此，两曲线不相交。
【题型 B：奇偶性/整除性证明】2025年1月 Q6
题目：证明"若 $n^2 - 4n + 5$ 是偶数，则 $n$ 是奇数" ($n \in \mathbb{N}$)。
分步解答策略：
- Step 1（假设）：假设结论不成立，即假设 $n$ 是偶数。
- Step 2（推导）：令 $n = 2k$（$k$ 为整数）。代入表达式得 $(2k)^2 - 4(2k) + 5 = 4k^2 - 8k + 5$。
- Step 3（寻找矛盾）：将其变形为 $2(2k^2 - 4k + 2) + 1$。这表明该表达式是一个奇数。
- Step 4（结论）：这与题目给出的"表达式是偶数"相矛盾。因此假设错误，$n$ 必须是奇数。
【题型 C：代数不等式证明】2025年10月 Q1
题目：已知 $a, b > 0$，证明 $\frac{9a}{b} + \frac{4b}{a} \ge 12$。
分步解答策略：
- Step 1（假设）：假设 $\frac{9a}{b} + \frac{4b}{a} < 12$。
- Step 2（推导）：两边同乘 $ab$（因为 $a, b > 0$，不等号方向不变），得 $9a^2 + 4b^2 < 12ab$。
- Step 3（寻找矛盾）：移项得 $9a^2 - 12ab + 4b^2 < 0$，即 $(3a - 2b)^2 < 0$。
- Step 4（结论）：任何实数的平方都不可能小于 0，这产生了矛盾。因此原不等式成立。
2.1 更多真题示例
【数的性质与整除性证明】
- 2020年10月 第1题：已知 $n$ 是一个整数，利用代数方法通过反证法证明：若 $n^3$ 是偶数，则 $n$ 也是偶数。
- 2021年1月 第3题：通过反证法证明不存在最大的奇整数。
- 2021年6月 第9(ii)题：已知 $n \in \mathbb{N}$，通过反证法证明：若 $n^2$ 是 3 的倍数，则 $n$ 也是 3 的倍数。
- 2023年6月 第7题：使用反证法证明 $\sqrt{7}$ 是无理数。（你可以假设若 $k$ 是整数且 $k^2$ 是 7 的倍数，则 $k$ 也是 7 的倍数）
【函数图像与几何特征证明】
- 2024年1月 第8题：使用反证法证明方程为 $y = 2x + x^3 + \cos x$ 的曲线没有驻点。
- 2024年6月 第8(b)题：使用反证法证明方程为 $y = 8x^2 + 8x + 15$ 的曲线与方程为 $y = A + \dots$ 的曲线（由 binomial 展开式得出）不相交。
- 2024年10月 第2题：使用代数方法通过反证法证明曲线 $C_1$（$y = 4x^2 - 10x - 8$）与 $C_2$（$y = 2x^2 + 7x - 2$）不相交。
【数列与整数解证明】
- 2022年1月 第6题：已知数列连续三项为 $k, 1+2k$ 和 $3+3k$。通过反证法证明该数列不是等比数列。
- 2022年6月 第8题：（补全证明）通过反证法证明：不存在正整数 $x$ 和 $y$ 使得 $3x^2 + 2xy - y^2 = 25$。
- 2025年6月预测/模拟卷 第10题：已知 $p$ 和 $q$ 是整数，通过反证法证明 $p^2 - 4q + 2 \neq 0$。
3. 考前一周：解题套路总结
为了在考试中拿满分，请务必掌握以下"套路"：
- 规范语言（必背模板）：
- 开始："Assume that [proposition is false]..."
- 中间："This implies that..." 或 "But this contradicts the fact that..."
- 结尾："Hence the assumption is false and [original statement] is true."
- 警惕计算器陷阱：P4 明确规定"完全依赖计算技术的解法不予接受 (Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable)"。在处理 $\Delta < 0$ 或方程求解时，必须写出完整的代数展开过程。
- 注意定义域限制：在证明过程中，如涉及除法或不等式乘法，必须说明项的正负号（如 $a, b > 0$）或分母不为 0。
- 常见的"矛盾点"：
- 得到 $x^2 < 0$。
- 得到 $\sin x > 1$ 或 $\cos x < -1$。
- 得到"偶数 = 奇数"。
- 得到 $\Delta < 0$（无实数解）。
💡 理解小贴士
反证法就像是"逻辑法庭"：你想要证明被告是清白的（命题成立），你可以先假设被告有罪（反面假设）。如果你发现根据"有罪"的推论，被告竟然在同一时间出现在了两个不同的城市（逻辑矛盾），那么"有罪"的假设就被推翻了，从而铁证如山地证明了被告确实是清白的。
备考提示：这些题目展示了 P4 第一章的共同规律：题目往往以"Prove by contradiction that..."开头，分值通常在 4-5 分。解题时，第一步必须明确写出 "Assume that [命题的否定形式] is true"，否则会丢失关键的过程分。