第七章：向量 - P4 Revision Guide

本章是 P4 考试中逻辑性最强、计算量适中的章节。向量通常作为倒数第二或第三道大题出现，分值在 8-12 分。向量就像是"GPS 导航指令"：位置向量 $\mathbf{a}$ 告诉你你在哪里（起点），而方向向量 $\mathbf{b}$ 告诉你该往哪走。直线方程就是"从某地出发，沿着某个方向走任意远"。而两条直线的交点，就是两个旅人在不同路线上刚好撞上的那个瞬间。

1. 核心知识点回顾

1.1 向量的基础表示与计算

向量在 3D 空间中的表示：$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$。
模长 (Magnitude)：$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
单位向量 (Unit Vector)：长度为 1 的向量，常用于表示方向。

1.2 直线方程 (Equation of a line)

3D 直线标准形式：

$$\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$$

其中 $\mathbf{a}$ 是直线上一点的位置向量 (Position Vector)，$\mathbf{b}$ 是直线的方向向量 (Direction Vector)。

1.3 标量积（点积）与夹角 (Scalar Product)

1.4 直线的位置关系

1.5 几何应用

2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)

【第一题：相交直线与未知参数求解】January 2024 Q6

题目条件：直线 $l_1$ 过点 $(3, p, 7)$ 方向为 $(2, -5, 4)$；直线 $l_2$ 过点 $(8, -2, 5)$ 方向为 $(4, 1, 2)$。已知 $l_1$ 和 $l_2$ 相交。

(a) 求 $p$ 的值； (b) 求交点坐标； (c) 求两直线夹角。

解析：

第一步（列出方程组）：令 $l_1 = l_2$，得到三个分量方程：
- $3 + 2\lambda = 8 + 4\mu$ (1)
- $p - 5\lambda = -2 + \mu$ (2)
- $7 + 4\lambda = 5 + 2\mu$ (3)
第二步（解出参数）：联立 (1) 和 (3) 解出 $\lambda$ 和 $\mu$。
第三步（反解 $p$）：将算得的 $\lambda, \mu$ 代入 (2) 式求出常数 $p$。
第四步（求夹角）：提取两条直线的方向向量 $(2, -5, 4)$ 和 $(4, 1, 2)$，代入点积公式计算 $\cos\theta$。

【第二题：证明直线异面 (Skew Lines)】October 2022 Q9

题目条件：给出 $l_1$ 和 $l_2$ 的向量方程，证明它们是 Skew。

解析：

第一步（检查平行性）：观察两直线的方向向量 $\mathbf{b}_1$ 和 $\mathbf{b}_2$。如果它们不是彼此的倍数，则说明两直线不平行。
第二步（尝试联立）：假设它们相交，通过 $x$ 和 $y$ 轴的分量方程求出参数 $\lambda$ 和 $\mu$。
第三步（产生矛盾）：将求得的 $\lambda, \mu$ 代入 $z$ 轴的分量方程。如果等式不成立，则说明无交点。
结论：因为既不平行也不相交，所以两直线为 Skew。

【第三题：最短距离与镜像点 (Shortest Distance)】October 2021 Q7

题目条件：已知直线 $l$ 和直线外一点 $A$。点 $X$ 是 $l$ 上距离 $A$ 最近的点。

(a) 求 $X$ 的坐标； (b) 求 $A$ 到 $l$ 的最短距离； (c) 求 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B$。

解析：

第一步（垂直条件）：由于 $X$ 在直线 $l$ 上，其坐标可表示为含参数 $\lambda$ 的向量。构造向量 $\vec{AX} = \mathbf{x} - \mathbf{a}$。
第二步（点积求 $\lambda$）：利用 $\vec{AX} \perp \mathbf{b}$（直线 $l$ 的方向向量），令 $\vec{AX} \cdot \mathbf{b} = 0$ 解出 $\lambda$，进而得到 $X$。
第三步（算距离）：计算向量 $\vec{AX}$ 的模长 $|\vec{AX}|$，即为最短距离。
第四步（对称点）：利用中点公式 $\mathbf{x} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{b}}{2}$，即 $\mathbf{b} = 2\mathbf{x} - \mathbf{a}$ 求出点 $B$ 的位置向量。

3. 更多历年真题示例

3.1 几何图形应用与模长计算 (Parallelograms & Area)

这类题目通常要求利用向量的加减法、点积求角度，以及计算三角形或平行四边形的面积。

2021年1月 Q2：给出平行四边形 $ABCD$ 的两条边向量 $\vec{AB} = 6\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ 和 $\vec{BC} = 2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k}$。要求计算 $\angle ABC$ 的度数以及平行四边形的面积。
2025年10月 Q7：已知平行四边形相邻两边的向量，要求计算 $\cos \theta$ 的精确值，并证明面积可以表示为 $5\sqrt{k}$ 的形式。

3.2 直线方程、交点与夹角 (Lines & Intersections)

考查 3D 空间直线的向量方程 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$，以及寻找交点或计算两条直线间的夹角。

2020年10月 Q8：给定两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程，要求找到它们的交点 $X$ 的位置向量，并处理直线上特定点 $P$ 的几何关系。
2024年1月 Q6：两条直线 $l_1$（含未知数 $p$）与 $l_2$ 相交。要求先求出 $p$ 的值，再求交点坐标，最后求两直线的夹角。
2025年1月 Q8：给定两点 $A(2, -1, 5)$ 和 $B(3, 4, -6)$ 的位置向量。要求求出向量 $\vec{AB}$ 并在 (ii) 问中写出通过这两点的直线 $l$ 的向量方程。

3.3 证明直线异面 (Skew Lines)

这是向量大题中的高频难点，要求证明两条直线既不平行也不相交。

2021年1月 Q8：给定两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 包含未知常数 $b$。要求证明当 $b \neq 7$ 时，这两条直线是异面直线 (Skew lines)。
2022年10月 Q9：通过联立分量方程组展示矛盾（无解），从而证明两条直线为 Skew 关系。

3.4 最短距离、垂足与镜像点 (Shortest Distance & Reflected Points)

利用点积等于 0（垂直条件）来解决几何定位问题。

2021年10月 Q7：给定直线 $l$ 和点 $A$。要求：
1. 找到直线 $l$ 上距离 $A$ 最近的点 $X$ 的坐标（利用 $\vec{AX} \cdot \mathbf{b} = 0$）。
2. 计算 $A$ 到直线的最短距离（即向量 $\vec{AX}$ 的模长）。
3. 寻找 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点（镜像点） $B$ 的位置向量。

4. 考前复习总结：避坑指南

💡 考前复习建议

在 P4 考试中，向量通常作为倒数第二或第三道大题出现，分值在 8-12 分。

分清位置与方向：在点积公式 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ 中，$\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 必须是直线的方向向量，而不是位置向量。
解方程组的严谨性：在求交点或证明 Skew 时，必须联立 $x, y$ 两个分量方程求出参数 $\lambda, \mu$，然后带入 $z$ 分量进行校验。
计算器模式：如果题目要求以"Degrees"给答案，计算器务必调至 DEG；若出现 $\pi$ 或要求"Radians"，务必调至 RAD。

💡 理解比喻：向量就像是"带箭头的说明书"：位置向量告诉你"终点在哪里"，而方向向量告诉你"路该往哪偏"。直线方程 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$ 就像是"先到 $A$ 站（位置 $\mathbf{a}$），然后按 $B$ 方向走任意步（参数 $\lambda$）"。两条直线相交，就是两个人在不同的说明书指引下，走到了同一个坐标。

第七章：向量 (Vectors)