第三章：直角坐标系中的坐标几何 (Coordinate Geometry)

题目：曲线 $C$ 的参数方程为 $x = t + 1$，$y = t^2 - 3t + 2$ ($t \ge 0$)。

(a) 将其写成 $y = g(x)$ 的形式。

(b) 写出函数 $g$ 的值域 (Range)。

解析 (Step-by-Step)：

1. 第一步（代数消元）：从 $x = t + 1$ 得到 $t = x - 1$。
2. 第二步（代入）：将 $t$ 代入 $y$ 的表达式：$y = (x - 1)^2 - 3(x - 1) + 2$。
3. 第三步（化简）：展开整理得 $y = x^2 - 2x + 1 - 3x + 3 + 2 = x^2 - 5x + 6$。
4. 第四步（确定范围）：因为 $t \ge 0$，所以 $x = t + 1 \ge 1$（这是定义域）。观察二次函数 $y = (x - 2.5)^2 - 0.25$，在 $x \ge 1$ 范围内，$y$ 的最小值为顶点的纵坐标 $-0.25$。因此值域为 $g(x) \ge -0.25$。

题目：$x = 3 + 2\sin t$，$y = \frac{6}{7 + 2\cos 2t}$ ($-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$)。证明直角坐标方程为 $y = \frac{12}{(7-x)(1+x)}$。

解析 (Step-by-Step)：

1. 第一步（孤立三角项）：由 $x$ 的方程得 $\sin t = \frac{x-3}{2}$。
2. 第二步（变换 $y$ 的分母）：利用二倍角公式 $\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t$。 分母变为：$7 + 2(1 - 2\sin^2 t) = 9 - 4\sin^2 t$。
3. 第三步（代入消元）：将 $\sin t$ 替换掉： $y = \frac{6}{9 - 4(\frac{x-3}{2})^2} = \frac{6}{9 - (x-3)^2}$。
4. 第四步（因式分解证明）：分母展开为 $9 - (x^2 - 6x + 9) = 6x - x^2 = x(6-x)$。 注意：题目要求的形式可能涉及常数项调整，需根据题干给出的 $p \le x \le q$ 确定 $x$ 的范围（此处为 $1 \le x \le 5$）。

题目：$x = \sin t - 3\cos^2 t$，$y = 3\sin t + 2\cos t$。求 $t = \pi$ 时的 $\frac{dy}{dx}$ 及其切线方程。

解析 (Step-by-Step)：

1. 第一步（求导）： $\frac{dx}{dt} = \cos t - 6\cos t (-\sin t) = \cos t + 6\sin t \cos t$。 $\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 2\sin t$。
2. 第二步（代入 $t = \pi$）： 当 $t = \pi$ 时，$\cos \pi = -1, \sin \pi = 0$。 $\frac{dx}{dt} = -1 + 0 = -1$；$\frac{dy}{dt} = 3(-1) - 0 = -3$。
3. 第三步（求梯度）：$\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{-1} = 3$。
4. 第四步（求坐标点）： 将 $t = \pi$ 代入原参数方程：$x = 0 - 3(-1)^2 = -3$，$y = 0 + 2(-1) = -2$。
5. 第五步（列方程）：$y - (-2) = 3(x - (-3)) \Rightarrow y + 2 = 3x + 9 \Rightarrow y = 3x + 7$。

• 2021年1月 Q4：已知 $x = t + 1$，$y = t^2 - 3t + 2$ ($t \ge 0$)。要求显示其直角坐标方程形式并确定值域。
• 2022年1月（备用卷 Unused） Q2：已知 $x = \frac{t}{(2t+1)^4}$，$y = \frac{t}{(2t+1)^3}$ ($t > 0$)。要求证明所有点满足 $x^3 - 2xy^3 - y^4 = 0$。
• 2022年10月 Q1：已知 $x = \frac{t}{t-3}$，$y = \frac{1}{t} + 2$ ($t > 3$)。要求证明直角坐标方程为 $y = \frac{ax}{bx-1}$。
• 2023年1月 Q2：已知 $x = \frac{t-1}{2t+1}$，$y = \frac{6}{2t+1}$ ($t \neq -0.5$)。要求证明所有点 P 位于一条直线上。
• 2023年6月 Q8：已知 $x = t + 1$，$y = \frac{1}{t} + \frac{7}{t^2}$ ($t > 0.7$)。要求写出 $x$ 的坐标点并进行微积分综合运算。
• 2025年1月 Q3：已知 $x = \frac{15-4t}{5}$，$y = t^2$ ($t \ge 0$)。要求显示直角坐标方程 $y = g(x)$ 并在限定范围内求值域。

• 2022年1月 Q3：已知 $x = 3 + 2\sin t$，$y = \frac{6}{7+2\cos 2t}$。要求证明直角坐标方程并寻找 $x$ 的取值范围 $[p, q]$。
• 2024年1月 Q9：已知 $x = 3\sec^3 t$，$y = 6\tan t$。要求通过消元证明点满足特定的代数方程。
• 2024年10月 Q3：已知 $x = 3\sin 2\theta$，$y = 1 - \cos 2\theta$。要求显示其 Cartesian 方程为 $8x^2 + 9y^2 - 18y = 0$ 形式（或类似变形）并寻找常数 $q$。

• 2018年样本卷 (Specimen) Q4：已知 $x = 3\sin 2t$，$y = 4\cos^2 t$。要求显示 $\frac{dy}{dx} = k \tan 2t$ 并求出 $t = \frac{\pi}{3}$ 时的切线方程。
• 2022年6月 Q7：已知 $x = \sin t - 3\cos^2 t$，$y = 3\sin t + 2\cos t$。要求证明在 $t = \pi$ 时 $\frac{dy}{dx} = 3$，并求出切线方程。
• 2023年10月 Q8：已知 $x = 6 - 3\sin 2t$，$y = 2\cos^2 t$。考查参数微分求梯度 $\lambda$ 以及后续的旋转体体积计算。