第二章：部分分式 (Partial Fractions)
本章是P4考试中连接代数变形、二项式展开（第四章）和积分（第六章）的关键桥梁。部分分式很少单独考查，它总是作为"开门砖"出现。如果第一问的部分分式算错，后面的积分或展开式会陷入极其复杂的代数地狱。考场上请务必花费 2 分钟检查一遍分式系数！
1. 核心知识点回顾
1.1 基础线性分式 (Distinct Linear Factors)
当分母由不重复的线性因子组成时：
$$\frac{P(x)}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}$$
1.2 含有重复因子的分式 (Repeated Factors)
如果分母含有平方项 $(ax+b)^2$，必须包含每一级的幂次：
$$\frac{P(x)}{(ax+b)^2(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{cx+d}$$
⚠️ 重要提醒
这是考试中最容易漏掉 $\frac{A}{ax+b}$ 项的考点。当分母有平方项时，必须同时包含一次项和平方项！
1.3 假分式处理 (Improper Fractions)
- 定义：分子（Numerator）的最高次数 $\ge$ 分母（Denominator）的最高次数。
- 处理套路：必须先进行代数长除法或利用待定系数法提取多项式部分。
- 示例：若分子分母均为 2 次，结果形式应为：$A + \frac{B}{linear} + \frac{C}{linear}$。
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
【典型题：假分式 + 待定系数法】June 2023 Q3
题目：将 $f(x) = \frac{8x^2+5}{(2x+1)(4x+3)}$ 化为部分分式。
分步解答策略：
- Step 1（识别类型）：分子是 2 次，分母展开也是 2 次，属于假分式。
- Step 2（设定形式）：设 $f(x) = A + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{4x+3}$。
- Step 3（通分对消）：$8x^2 + 5 = A(2x+1)(4x+3) + B(4x+3) + C(2x+1)$。
- Step 4（求解系数）：
- 令 $x = -\frac{1}{2}$ 求出 $B$。
- 令 $x = -\frac{3}{4}$ 求出 $C$。
- 对比 $x^2$ 的系数：$8 = 8A \Rightarrow A = 1$。
【典型题：重复因子型】Jan 2024 Q2
题目：已知 $\frac{3x^2+4}{(x+2)(2x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{(2x+1)^2}$，求 $A, B, C$。
分步解答策略：
- Step 1（消分母）：$3x^2+4 = A(2x+1)^2 + B(x+2)(2x+1) + C(x+2)$。
- Step 2（代入特殊值）：
- 令 $x = -2$：$3(-2)^2+4 = A(-3)^2 \Rightarrow 16 = 9A \Rightarrow A = \frac{16}{9}$。
- 令 $x = -0.5$：求出 $C$。
- Step 3（对比系数或取 0 值）：代入 $x=0$ 或对比 $x^2$ 项：$3 = 4A + 2B$，从而求出 $B$。
2.1 更多真题示例
【基础线性因子型 (Distinct Linear Factors)】
- 2023年1月 Q1(a)：将 $f(x) = \frac{5-10x}{(1+2x)(3-x)}$ 化为部分分式形式。
- 2022年6月 Q2(a)：要求表达 $\frac{1}{(1+3x)(1-x)}$ 为部分分式，随后用于解微分方程。
- 2022年10月 Q2(a)：要求将 $\frac{3}{(2x-1)(x-2)}$ 写成部分分式并进行积分。
- 2023年10月 Q7(c)：结合建模题，要求将 $\frac{3}{x(9-2x)}$ 进行拆解。
- 2025年10月 (模拟卷) Q7(a)：要求将 $\frac{1}{(4-x)(2-x)}$ 转化为部分分式，用于化学反应速率建模。
【含有重复因子型 (Repeated Factors)】
- 2018年样本卷 (Specimen) Q3(a)：已知 $f(x) = \frac{1-3x^2}{(1-3x)(1+2x)^2}$，求其部分分式展开系数 $A, B, C$。
- 2022年1月 (备用卷 Unused) Q4(a)：练习拆解 $f(x) = \frac{4x-4}{x^2(x-2)}$。
- 2024年1月 Q2(a)：已知 $\frac{3x^2+4}{(x+2)(2x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{(2x+1)^2}$，求常数 $A, B, C$ 的值。
- 2025年1月 Q4(a)：将涉及重复因子的 $f(x)$ 化为部分分式形式，为后续积分做准备。
【假分式型 (Improper Fractions)】
- 2021年10月 Q3(a)：$g(x) = \frac{3x^3+8x^2-3x-6}{x(x+2)(x+3)}$，分子分母同为3次，要求化简为 $Ax+B+\frac{C}{x}+\frac{D}{x+3}$。
- 2023年6月 Q3(a)：处理 $f(x) = \frac{8x^2+5}{(2x+1)(4x+3)}$，通过拆解获得常数项和两个线性分式。
【综合应用型 (与积分或微分方程结合)】
- 2021年1月 Q10(a)：在水箱深度建模题中，第一步要求写出 $\frac{1}{(5-H)(3+H)}$ 的部分分式形式。
- 2024年6月 Q5(c)(i)：在求曲线下面积的过程中，要求将 $\frac{t}{t(1-3t)}$ 的变形形式化为部分分式。
3. 考前一周：解题套路总结
- 首选判别：拿到题先看分子分母次数！若分子次数不小于分母，必须先"瘦身"（长除法）。
- 重复因子检查：分母有平方，设定形式时是否有 $A/(\dots) + B/(\dots)^2$？
- 计算技巧：
- 掩盖法 (Cover-up Rule)：仅适用于非重复的线性因子，求出系数后务必回代一个简单值（如 $x=0$）校验。
- 常数项陷阱：在假分式中，长除法得出的商（Quotient）通常就是那个独立的常数项 $A$。
- 后续衔接意识：
- Binomial：如果下一问是展开式，记得将分式化为 $A(1+kx)^{-1}$ 形式。
- Integration：如果是积分题，部分分式是处理 $\int \frac{1}{linear} dx$ （得 $\ln$）的唯一途径。
4. 历年考题清单
以下题目专门考察或核心步骤涉及部分分式：
| 年份月份 |
题号 |
考查重点 |
| Specimen 2018 |
Q3(a) |
重复因子型 |
| Jan 2021 |
Q10(a) |
基础线性型（结合微分方程） |
| Jan 2022 (Unused) |
Q4(a) |
重复因子型（结合积分） |
| Oct 2022 |
Q2(a) |
基础线性型 |
| Jan 2023 |
Q1(a) |
三线性因子（结合二项式展开） |
| June 2023 |
Q3(a) |
假分式型（2次/2次） |
| Jan 2024 |
Q2(a) |
重复因子型 |
| Jan 2025 |
Q4(a) |
重复因子型 |
| Oct 2025 (Mock) |
Q7(a) |
基础线性型（结合化学建模微分方程） |
| June 2025 (Mock) |
Q5(ii) |
基础线性型 |
💡 考前避坑小贴士
部分分式就像是"拆卸精密零件"：
- 先看外壳：分子次数 $\ge$ 分母次数，必须先"卸掉"外层的多项式（长除法），否则后面的步骤全错。
- 不漏螺丝：如果有平方项 $(x-1)^2$，记得一定要拆成两项：$\frac{A}{x-1}$ 和 $\frac{B}{(x-1)^2}$，漏掉第一项是考场上最常见的丢分点。
- 最后复位：算完系数后，随手带入一个简单的 $x$ 值（如 $x=0$）检查两边是否相等，只需10秒就能保住这关键的3-5分。