第六章：积分 (Integration)
本章是全书分值占比最高、题型最丰富的章节。积分章节的题目往往是试卷中分值最高（通常为 10-15 分）且计算量最大的。考试中，换元法和微分方程经常合并考查，务必熟练掌握三角恒等式（如 $\cos 2x$ 降次公式）在积分中的转换作用。
1. 核心知识点回顾
1.1 基础积分与部分分式结合 (Integration with Partial Fractions)
这类题目通常要求先将分式拆解（第二章知识），再进行对数积分（$\ln$ 形式）。
- 先通过部分分式将复杂分式拆解为简单分式。
- 对每一项分别积分，通常得到 $\ln$ 形式的结果。
- 注意定义域限制，确保积分有意义。
1.2 换元积分法 (Integration by Substitution)
- 这是考试中最频繁出现的题型，通常涉及根式、三角函数或指数的替换。
- 常见替换：$u = \sqrt{x}$、$u = 1+\sin \theta$、$u = 1+2x^2$、$u = 1+e^x$、$x = 4\sin \theta$ 等。
- 关键步骤：确定 $du$ 与 $dx$ 的关系，并替换积分限（定积分时）。
1.3 分部积分法 (Integration by Parts)
- 主要考查 $x e^x$、$x \sin x$ 或 $\ln x$ 等类型的乘积积分。
- 有时需要连续使用两次分部积分（如 $\int x^2 \cos x dx$）。
- 选择 $u$ 和 $dv$ 的技巧：通常选择容易求导的项作为 $u$，容易积分的项作为 $dv$。
1.4 参数方程求面积 (Area under a curve)
⚠️ 重要提醒
对于由 $x=f(t), y=g(t)$ 定义的曲线，积分上下限必须从 $x$ 的范围转化为参数 $t$ 的范围。
1.5 几何应用：面积与旋转体体积
- 要求利用 $\pi \int y^2 dx$ 计算绕 $x$ 轴旋转的体积。
- 通常涉及实际建模问题（如容器、门把手、花瓶等形状）。
- 注意确定正确的积分限和函数表达式。
1.6 微分方程 (Differential Equations)
将变量分离后进行积分，通常结合实际建模（如人口、水量变化）。
- 核心方法：分离变量法（Separation of Variables）。
- 步骤：将含 $y$ 的项移到一边，含 $x$ 的项移到另一边，然后两边积分。
- 注意初始条件，确定积分常数 $C$。
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
【第一题：换元积分法典型题】January 2021 Q5
题目：利用换元 $u = \sqrt{3x-1}$ 求 $\int_{1}^{13} \frac{4}{3x+2\sqrt{3x-1}} dx$ 的精确值。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1（求导换元）：由 $u = (3x-1)^{1/2}$ 得 $\frac{du}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}} \Rightarrow dx = \frac{2u}{3} du$。
- Step 2（转换变量）：将 $x$ 表达为 $u$：$u^2 = 3x-1 \Rightarrow 3x = u^2+1$。
- Step 3（换限）：当 $x=1$ 时，$u=\sqrt{2}$；当 $x=13$ 时，$u=\sqrt{38} \rightarrow 6$。
- Step 4（化简积分）：原式变为 $\int \frac{4}{(u^2+1)+2u} \cdot \frac{2u}{3} du = \frac{8}{3} \int \frac{u}{(u+1)^2} du$。
- Step 5（二次换元或拆分）：将分母拆开或令 $w=u+1$ 完成计算。
【第二题：分部积分与旋转体体积】June 2022 Q8
题目：曲线 $y = 10xe^{-\frac{1}{2}x}$ 绕 $x$ 轴旋转，证明体积 $V = k \int_{0}^{10} x^2 e^{-x} dx$。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1（套用公式）：$V = \pi \int y^2 dx = \pi \int_{0}^{10} (10xe^{-\frac{1}{2}x})^2 dx$。
- Step 2（整理）：$V = 100\pi \int_{0}^{10} x^2 e^{-x} dx$。得出 $k = 100\pi$。
- Step 3（分部积分）：对 $\int x^2 e^{-x} dx$ 使用两次分部积分。
- 第一次：$u=x^2, dv=e^{-x}dx \Rightarrow v=-e^{-x}$。
- 第二次：对余下的 $\int 2x e^{-x} dx$ 再次令 $u=2x$ 积分。
【第三题：微分方程与部分分式】June 2022 Q2
题目：解微分方程 $(1+3x)(1-x) \frac{dy}{dx} = \tan y$。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1（分离变量）：$\int \frac{1}{\tan y} dy = \int \frac{1}{(1+3x)(1-x)} dx \Rightarrow \int \cot y dy = \int \frac{1}{(1+3x)(1-x)} dx$。
- Step 2（部分分式处理右侧）：设 $\frac{1}{(1+3x)(1-x)} = \frac{A}{1+3x} + \frac{B}{1-x}$，求出 $A, B$。
- Step 3（积分）：左侧积分为 $\ln|\sin y|$；右侧积分为 $-\frac{1}{3}A\ln|1+3x| - B\ln|1-x|$。
- Step 4（求特解）：代入已知初始条件 $x=0.5, y=\pi/2$ 确定常数 $c$。
3. 历年真题示例
3.1 基础积分与部分分式结合
这类题目通常要求先将分式拆解，再进行对数积分（$\ln$ 形式）。
- 2020年10月 Q7(ii)：求 $\frac{6x+16}{(x+1)(2x-3)}$ 的积分。
- 2022年10月 Q2(b)：对部分分式结果进行积分，求得 $\ln$ 形式的精确值。
- 2024年1月 Q2(b)：利用部分分式求 $\int \frac{3x^2+4}{(x+2)(2x+1)^2} dx$ 的精确值。
- 2025年1月 Q4(b)：使用代数积分求解复杂分式的定积分。
- 2025年6月 (模拟卷) Q5(ii)：利用部分分式求定积分结果 $k$。
3.2 换元积分法
这是考试中最频繁出现的题型，通常涉及根式、三角函数或指数的替换。
- 2021年6月 Q4：使用 $u=\sqrt{x}$ 求定积分的精确值。
- 2021年10月 Q6：使用合适的换元法求 $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+4}} dx$（或类似形式）的精确值。
- 2022年1月 Q8：利用 $u=1+\sin \theta$ 求解积分。
- 2022年6月 Q5：使用 $u=1+2x^2$ 求解定积分。
- 2023年1月 Q4：利用换元法求解曲线下面积。
- 2023年10月 Q3(ii)：利用 $u$ 换元证明积分结果为 $a \ln b$ 形式。
- 2024年1月 Q3：使用 $u=1+e^x$ 求解积分。
- 2024年1月 Q7：使用 $u=4\sin \theta$ 求解定积分。
- 2025年1月 Q7：利用 $x=4\sin \theta$ 求定积分精确值。
3.3 分部积分法
主要考查 $x e^x$、$x \sin x$ 或 $\ln x$ 等类型的乘积积分。
- 2018年样本卷 (Specimen) Q6：使用分部积分法证明 $\int e^{2x} \cos 3x dx$ 的结果。
- 2021年6月 Q5：求解 $\int x^2 e^{3x} dx$ 类型的问题。
- 2022年6月 Q4：连续使用两次分部积分求解 $\int x^2 \cos x dx$。
- 2023年6月 Q2：求解涉及 $\ln x$ 的分部积分。
- 2024年6月 Q4：求解 $\int x^n e^x dx$ 形式的积分。
- 2025年10月 (模拟卷) Q2：求解 $\int (\ln x)^2 dx$ 的精确值。
3.4 几何应用：面积与旋转体体积
要求利用 $\pi \int y^2 dx$ 计算绕 $x$ 轴旋转的体积。
- 2021年6月 Q3：计算容器模型旋转 360 度后的体积。
- 2022年1月 Q7：计算门把手模型旋转后的体积。
- 2022年10月 Q7：计算特定曲线段生成的旋转体体积。
- 2023年1月 Q5：求解曲线、直线与坐标轴围成的旋转体体积。
- 2023年6月 Q4：求解花瓶形状的旋转体体积。
- 2024年1月 Q6：结合参数方程求旋转体体积。
3.5 微分方程
将变量分离后进行积分，通常结合实际建模（如人口、水量变化）。
- 2021年1月 Q10(b)：求解水箱深度 $H$ 随时间 $t$ 变化的微分方程。
- 2021年10月 Q2：求解特定初始条件下的微分方程特解。
- 2022年6月 Q8：求解关于 $n$ 和 $t$ 的指数增长/衰减模型。
- 2023年1月 Q7：求解气球半径 $r$ 随时间变化的模型。
- 2023年10月 Q7(d)：求解海岛山羊种群数量变化的微分方程。
- 2024年6月 Q2：求解涉及 $\cos^2 t$ 的微分方程。
- 2025年1月 Q5：求解高度 $H$ 随时间变化的微分方程并证明导数关系。
- 2025年10月 (模拟卷) Q7(b)：求解化学反应物质质量 $x$ 随时间变化的微分方程。
4. 考前避坑套路总结
- "换元必换限"：这是换元法大题最容易丢 2 分的地方，一定要在草稿纸上列出 $x \rightarrow u$ 的对应表格。
- 分部积分的顺序：牢记 LIATE 原则（Logarithms, Inverse trig, Algebra, Trig, Exponentials）来决定谁做 $u$。若碰到 $\ln x$，它永远是 $u$。
- 微分方程的 $C$：积分结束后一定要立刻写上 $+C$，然后再根据初始条件求解。漏掉 $C$ 往往会导致后续整个模型推导错误。
- 计算器陷阱：定积分题中常出现"Exact value"，这意味着严禁使用计算器算出的小数，必须保留 $\pi, \ln, e$ 等精确符号。
💡 备考建议
积分章节的题目往往是试卷中分值最高（通常为 10-15 分）且计算量最大的。考试中，换元法和微分方程经常合并考查，务必熟练掌握三角恒等式（如 $\cos 2x$ 降次公式）在积分中的转换作用。
- 换元法选择：根据被积函数的形式选择合适的替换。根式用 $u = \sqrt{x}$，三角函数用三角替换，指数函数用 $u = e^x$ 等。
- 分部积分顺序：记住 LIATE 规则（对数、反三角、代数、三角、指数）来选择 $u$。
- 微分方程步骤：分离变量 → 两边积分 → 代入初始条件求常数 → 化简结果。
- 几何应用：旋转体体积公式 $V = \pi \int_a^b y^2 dx$，注意确定正确的积分限。
💡 专家比喻：积分就像是"还原拼图"。微分是把一个完整的函数拆碎，而积分是把碎片拼回去。但是，有些碎片（比如分式或平方项）长得太奇怪，拼不上去。这时候，代数变形（第二章）和三角公式（第三章）就是你的"修剪刀"，把碎片修剪成标准的形状，你才能顺利完成拼图。