第四章：二项式展开 (Binomial Expansion)
本章重点在于处理指数 $n$ 为分数或负数的情况，这与 P2 中 $n$ 为正整数的情况有显著区别。本章题目通常出现在试卷的 Q1 或 Q2，作为开篇得分题，分值一般在 4-9 分 之间。二项式展开就像是在用"多项式搭积木"：当原函数（如复杂的根式或分式）太难直接计算时，我们用一串越来越精细的"积木"（$1, x, x^2, x^3 \dots$）去模仿它的形状。积木越多，模仿得越像，但只有在规定的"场地"（有效范围 $|x| < 1$）内，这套积木才不会倒塌。
1. 核心知识点回顾
1.1 标准展开式
1.2 非标准形式的转化
若括号内第一项不是 1（如 $(a + bx)^n$），必须先提取因子 $a$：
$$(a + bx)^n = a^n \left( 1 + \frac{b}{a}x \right)^n$$
此时的有效范围（收敛域）变为 $|\frac{b}{a}x| < 1$，即 $|x| < |\frac{a}{b}|$。
⚠️ "1"的执念
公式 $(1+x)^n$ 的首项必须是 1。如果是 $(2+5x)^{-2}$，第一步必须提取出 $2^{-2} = \frac{1}{4}$。
1.3 结合部分分式
当面对复杂的代数分式 $f(x)$ 时，通常先通过第二章的方法将其拆解为部分分式，再对每一项分别进行二项式展开。
2. 历年真题全解析 (Step-by-Step)
通过对 Past Papers 的分析，该章节主要考查以下三类题型：
【题型 A：基础系数求解与有效范围】January 2024 Q1
题目：求 $(1 - 4x)^{-1/4}$ 展开式的前四项。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1：识别 $n = -1/4$ 和替换项为 $(-4x)$。
- Step 2：套用公式：
$1 + (-\frac{1}{4})(-4x) + \frac{(-\frac{1}{4})(-\frac{5}{4})}{2}(-4x)^2 + \frac{(-\frac{1}{4})(-\frac{5}{4})(-\frac{9}{4})}{6}(-4x)^3$。
- Step 3：化简各系数，得出 $1 + x + \frac{5}{2}x^2 + \frac{15}{2}x^3$。
- Step 4：确定有效范围：$|-4x| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{1}{4}$。
【题型 B：求根号的近似值 (Approximation)】October 2022 Q4
题目：利用 $g(x) = (4 - 2x)^{1/2}$ 的展开式求 $\sqrt{3}$ 的近似值。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1：先提取 4，将 $g(x)$ 写成 $2(1 - \frac{1}{2}x)^{1/2}$ 形式并展开。
- Step 2：令括号内的值等于目标值。若要求 $\sqrt{3}$，需令 $4 - 2x = 3$，解得 $x = 0.5$。
- Step 3：检查 $x=0.5$ 是否在有效范围内（$|\frac{1}{2}x| < 1$），符合要求则代入展开式。
- Step 4：计算结果并保留题目要求的精确度或分数形式。
【题型 C：综合部分分式展开】January 2023 Q1
题目：已知 $f(x) = \frac{5-10x}{(1+2x)(3-x)}$。
解析 (Step-by-Step)：
- Step 1：拆解部分分式得 $\frac{A}{1+2x} + \frac{B}{3-x}$。
- Step 2：将每一项转化为 $A(1+2x)^{-1}$ 和 $\frac{B}{3}(1-\frac{1}{3}x)^{-1}$。
- Step 3：分别展开两项并相加，合并 $x$ 和 $x^2$ 的同类项系数。
- Step 4：综合有效范围：取两个收敛域的交集（如 $|x| < \frac{1}{2}$ 与 $|x| < 3$ 的交集为 $|x| < \frac{1}{2}$）。
3. 更多真题示例
3.1 基础展开与系数求解题型
这类题目直接考查对 $(1+x)^n$ 或 $(a+bx)^n$ 公式（$n$ 为分数或负数）的应用。
- 2024年1月 Q1：要求求出 $(1-4x)^{-1/4}$ 的前四项展开式。
- 2023年6月 Q1：考查 $(1+4x)^{1/2}$ 的展开，并要求写出其倒数形式的展开项进行对比。
- 2023年10月 Q1：考查 $(2-5x)^{-2}$ 的前四项展开并确定其有效范围（Validity range）。
- 2022年6月 Q1：已知 $(3+kx)^{-2}$ 的展开式系数关系 $C=3B$，要求反解常数 $k$。
- 2021年6月 Q1：已知 $(1+kx)^n$ 的部分展开式系数，逆向求解 $k, A, B$ 等常数。
- 2025年6月 (模拟卷) Q4：考查 $(4+5x)^{-1/2}$ 的前四项展开。
- 2018年样本卷 (Specimen) Q1：求 $(1+2x)^{5/3}$ 的前四项展开式。
3.2 根式近似值计算题型 (Approximation)
这类题目要求先进行二项式展开，随后代入一个特定的 $x$ 值来估算无理数（如 $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{10}$ 等）的近似值。
- 2025年10月 (模拟卷) Q4：利用 $(1-2x)^{-1/2}$ 的展开式，代入 $x=1/20$ 来获取 $\sqrt{10}$ 的分数近似值。
- 2024年10月 Q1：利用 $(8-3x)^{1/3}$ 的展开式，代入 $x=2/3$ 求 $\sqrt{6}$ 的近似值。
- 2022年10月 Q4：利用 $(4-2x)^{1/2}$ 的展开式求 $\sqrt{3}$ 的简化分数近似值。
- 2022年1月 Q2：利用 $(1+4/3x)^{1/3}$ 的展开式求 $\sqrt{31}$ 的近似值。
- 2022年1月 (备用卷 Unused) Q1：通过 $(9-2x)^{1/2}$ 的展开式代入 $x=1$ 来求 $\sqrt{7}$ 的近似值。
- 2021年10月 Q4：利用 $(1-4x)^{-1/2}$ 的展开式代入 $x=1/4$ 求 $\sqrt{3}$ 的近似值。
- 2021年1月 Q1：利用 $(4-5x)^{1/2}$ 的展开式代入 $x=1/100$ 求 $\sqrt{5}$ 的近似值。
3.3 结合部分分式的综合题型
这类题目通常是全卷分值最高的形式，要求先将分式拆解（第二章知识），再分别展开。
- 2023年1月 Q1：已知 $f(x) = \frac{5-10x}{(1+2x)(3-x)}$，要求先写出部分分式 (Partial Fractions)，再进行二项式展开。
- 2025年1月 Q3：已知展开式结果，要求识别其对应的分式结构并确定有效范围。
- 2020年10月 (实际为2020年6月卷) Q2：expand $(4-5x)^{-1/2}$，并以此处理更复杂的 $f(x) = \frac{k+x}{\sqrt{4-5x}}$。
4. 考前复习总结：解题避坑指南
- "1"的执念：公式 $(1+x)^n$ 的首项必须是 1。如果是 $(2+5x)^{-2}$，第一步必须提取出 $2^{-2} = \frac{1}{4}$。
- 符号杀手：如果项是 $(1 - 3x)^n$，在代入公式时必须使用 $(-3x)$，尤其是平方和立方项的符号最易出错。
- 计算器禁用令：P4 证明和近似值题目常标注 "Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable"，必须写出 $n(n-1)/2!$ 等中间步骤。
- 范围判定：近似值选取的 $x$ 必须落在有效范围内，否则展开式不收敛，结果无意义。
💡 考前复习建议
- 收敛域 (Validity)：几乎每道题都会问 "Range of values of $x$"。记住结论是 $| \text{替换项} | < 1$，例如对于 $(2+5x)^{-2}$，必须先化为 $2^{-2}(1+\frac{5}{2}x)^{-2}$，范围是 $|\frac{5}{2}x| < 1$ 即 $|x| < 0.4$。
- 符号陷阱：在处理 $(1-4x)^n$ 时，公式中的 $x$ 要整体替换为 $(-4x)$。在求平方项和立方项系数时，负号的正负变化是最高频的扣分点。
- 计算器限制：题目若出现 "Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable"，在求近似值时必须写出代入展开式的中间过程，不能直接按出结果。
理解比喻：二项式展开就像是在用"多项式搭积木"。当原函数（如复杂的根式或分式）太难直接计算时，我们用一串越来越精细的"积木"（$1, x, x^2, x^3 \dots$）去模仿它的形状。积木越多，模仿得越像，但只有在规定的"场地"（有效范围）内，这套积木才不会倒塌。