Chapter 1: Mathematical Modelling

数学建模 - 完整教材与练习题

一、核心概念

1. 数学模型（Mathematical Model）

是对现实世界情境的简化（simplification），通过提炼关键特征、设定合理假设，用于对现实情境进行预测（prediction）和分析，帮助理解和解决现实问题。

2. 数学模型的优势

  • 相对快速且易构建；
  • 成本效益高（比全量实地研究更省钱）；
  • 支持预测与推演；
  • 帮助理解复杂世界的规律；
  • 展示变量变化对结果的影响；
  • 简化复杂情境，聚焦核心逻辑。

3. 数学模型的劣势

  • 简化现实可能导致误差（模型未涵盖所有问题维度，或包含假设）；
  • 仅在特定条件下有效（现实中难完全满足假设）。

二、数学建模流程（七阶段）

  1. Stage 1：识别现实问题——明确研究的现实场景与目标（如“豹子种群年际变化”“猫头鹰数量波动”）。
  2. Stage 2：设计数学模型——确定变量、设定假设，可通过图表等形式构建模型框架。
  3. Stage 3：用模型预测行为——基于模型推导现实问题的未来趋势（如种群数量预测）。
  4. Stage 4：收集实验数据——从现实中获取与问题匹配的观测数据（如实地统计种群数量、调取历史数据）。
  5. Stage 5：模型与数据对比——将模型预测值与实际观测数据进行对照。
  6. Stage 6：统计检验模型拟合度——用统计方法（如误差分析）客观判断模型与现实数据的差异是否可接受。
  7. Stage 7：优化模型——若模型拟合度不足，重复Stage 2-6，调整假设、变量或模型结构，迭代改进。

三、例题

Example 1：数学模型的优势与劣势列举

要求列举两个优势和两个劣势，示例如下：

优势劣势
相对快速且易构建简化现实可能导致误差（模型过于简化）
支持预测与推演仅在特定条件下有效

Example 2：猫头鹰种群建模的七阶段应用

  1. 识别问题：明确“猫头鹰种群年际变化规律”的研究目标。
  2. 设计模型：设定变量（出生率、死亡率），假设（食物供应、环境短期不变），绘制模型框架图。
  3. 预测行为：用模型推导未来数年猫头鹰种群数量。
  4. 收集数据：实地观测猫头鹰数量，或调取历史种群数据。
  5. 对比数据：将预测值与实际观测数据对照。
  6. 统计检验：用误差分析等方法判断模型与现实的契合度。
  7. 优化模型：若差异过大，调整假设（如加入“食物供应变化”变量），重复Stage 2-6，迭代改进。

四、练习题

1A

1. 简述统计检验在数学建模中的作用。
（提示：对应Stage 6，为“判断模型与现实数据的差异是否可接受”提供客观标准。）

2. 描述如何优化数学建模的设计流程。
（提示：若预测与实际数据不符，重复Stage 2-6，迭代调整假设、变量或模型结构。）

3. 补全数学建模七阶段中的缺失阶段：
Stage 1：__________
Stage 4：__________
Stage 6：__________
（答案：Stage 1：识别现实问题；Stage 4：收集实验数据；Stage 6：用统计概念检验模型对现实问题的描述程度）

CR1

1. 数学模型可简化现实问题且构建快速，请再给出两个使用数学模型的原因。
（提示：从“成本效益”“预测功能”“理解世界”等优势中选取。）

2. 列举两个数学模型的优势和两个劣势。
（提示：参考“优势与劣势”表格，任选两点作答。）

3. 解释数学建模如何用于研究气候变化。
（提示：从“识别问题（如气温变化趋势）→设计模型（含二氧化碳浓度、温室气体排放等变量）→预测趋势→收集数据（历史气温、排放数据）→对比检验→优化模型”的流程分析。）

4. 某统计学家研究东南亚人口增长，请总结其创建数学模型的七阶段流程。
（提示：按“识别问题→设计模型→预测行为→收集数据→对比数据→统计检验→优化模型”的逻辑，结合“人口增长”场景细化描述。）