数学建模的基本概念与方法 - 知识点总结与练习题
数学建模：将现实世界中的问题转化为数学问题的过程。
特点：
公式：\( y = mx + c \)
用途：描述两个变量之间的线性关系，适用于匀速变化的情况
| 模型类型 | 数学形式 | 适用场景 | 图像特征 | 变化率 |
|---|---|---|---|---|
| 线性模型 | \( y = mx + c \) | 匀速增长 | 直线 | 恒定 |
| 指数模型 | \( y = ab^x \) | 指数增长 | 曲线 | 递增/递减 |
| 二次模型 | \( y = ax^2 + bx + c \) | 抛物线变化 | 抛物线 | 线性变化 |
题目：一辆汽车租赁公司收费标准为：基础费用50元，每行驶1公里收费0.5元。建立行驶距离与租赁费用之间的数学模型，并计算行驶100公里的总费用。
步骤1：定义变量
• 设行驶距离为 \( x \) 公里，总费用为 \( y \) 元
步骤2：建立模型
• 线性模型：\( y = 0.5x + 50 \)
• 其中，0.5是每公里费用，50是基础费用
步骤3：求解问题
• 当 \( x = 100 \) 时，\( y = 0.5 imes 100 + 50 = 100 \) 元
题目：某城市人口为10万，年增长率为3%。建立人口增长的数学模型，并计算10年后的人口数量。
指数增长模型：
• 初始人口 \( P_0 = 100000 \)
• 年增长率 \( r = 0.03 \)
• 时间 \( t \) 年后的人口模型：\( P(t) = P_0(1 + r)^t \)
• 当 \( t = 10 \) 时，\( P(10) = 100000 imes (1.03)^{10} \approx 134390 \) 人
注意：指数增长模型适用于没有限制条件下的增长情况
题目：某产品的利润函数为 \( P(x) = -2x^2 + 80x - 600 \)，其中 \( x \) 为销售数量。求最大利润及对应的销售数量。
二次函数最值求解：
• 利润函数为二次函数，二次项系数为-2，开口向下，存在最大值
• 最大值出现在顶点处，顶点横坐标：\( x = -b/(2a) = -80/(2 imes (-2)) = 20 \)
• 最大利润：\( P(20) = -2 imes 20^2 + 80 imes 20 - 600 = -800 + 1600 - 600 = 200 \) 元
• 因此，销售20件产品时，获得最大利润200元
某商店销售一种商品，已知销售数量与价格之间存在线性关系。当价格为10元时，每天销售100件；当价格为15元时，每天销售80件。
a) 建立价格 \( p \) 与销售数量 \( q \) 之间的线性模型
b) 当价格为20元时，预计每天销售多少件？
c) 如果销售数量为50件，价格应该是多少？
答题区域：
某种细菌在适宜条件下每30分钟繁殖一次，初始数量为100个。
a) 建立时间 \( t \)（小时）与细菌数量 \( N \) 之间的指数模型
b) 计算5小时后的细菌数量
c) 多长时间后细菌数量会达到1,000,000个？
答题区域：
某公司生产某种产品，成本函数为 \( C(x) = 2x^2 - 80x + 1000 \)，其中 \( x \) 为生产数量。
a) 求生产多少件产品时，成本最低？
b) 最低成本是多少？
c) 如果公司每天最多能生产50件产品，那么成本函数的定义域和值域分别是什么？
答题区域：
解答过程：
线性模型建立：
• 设线性模型为 \( q = mp + b \)
• 代入已知点 (10, 100) 和 (15, 80)
• 计算斜率：\( m = (80 - 100)/(15 - 10) = -4 \)
• 代入点 (10, 100) 求截距：\( 100 = -4 imes 10 + b \)，解得 \( b = 140 \)
• 因此，线性模型为 \( q = -4p + 140 \)
问题求解：
• 当 \( p = 20 \) 时，\( q = -4 imes 20 + 140 = 60 \) 件
• 当 \( q = 50 \) 时，\( 50 = -4p + 140 \)，解得 \( p = 22.5 \) 元
解答过程：
指数模型建立：
• 每30分钟繁殖一次，即每小时繁殖2次
• 指数模型：\( N(t) = 100 imes 2^{2t} \) 或 \( N(t) = 100 imes 4^t \)
问题求解：
• 当 \( t = 5 \) 时，\( N(5) = 100 imes 4^5 = 100 imes 1024 = 102400 \) 个
• 当 \( N(t) = 1,000,000 \) 时，\( 4^t = 10000 \)，解得 \( t = \log_4(10000) \approx 6.64 \) 小时
解答过程：
二次函数最小值求解：
• 成本函数为二次函数，二次项系数为正，开口向上
• 最小值出现在顶点处，顶点横坐标：\( x = -b/(2a) = 80/(2 imes 2) = 20 \)
• 最低成本：\( C(20) = 2 imes 20^2 - 80 imes 20 + 1000 = 200 \) 元
定义域和值域：
• 定义域：\( 0 \leq x \leq 50 \)（生产数量不能为负数，且不超过最大产能）
• 值域：计算端点值，当 \( x = 0 \) 时，\( C(0) = 1000 \)；当 \( x = 50 \) 时，\( C(50) = 2 imes 50^2 - 80 imes 50 + 1000 = 2000 \)
• 因此，值域为 \( 200 \leq C(x) \leq 2000 \)