其他位置度量练习题 - 掌握四分位数、百分位数与插值法
以下是6道综合练习题，涵盖四分位数计算、插值法和百分位数等核心内容。
珀斯气压数据：16天日平均气压（hPa）：1024,1022,1021,1013,1009,1018,1017,1024,1027,1029,1031,1025,1017,1019,1017,1014。
a. 中位数
b. 四分位数
排序后：1009,1013,1014,1017,1017,1017,1018,1019,1021,1022,1024,1024,1025,1027,1029,1031
a. 中位数：第8、9个数据为1019和1021，中位数\(\frac{1019+1021}{2}=1020\)
b. 四分位数：
• \(Q_1\)位置\(\frac{16}{4}=4\)，第4、5个数据为1017和1017，故\(Q_1=1017\)
• \(Q_3\)位置\(\frac{3×16}{4}=12\)，第12、13个数据为1024和1025，故\(Q_3=\frac{1024+1025}{2}=1024.5\)
学生藏书数量频率表：
| 书本数 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率 | 3 | 17 | 29 | 34 | 12 |
求四分位数
总频数\(n=95\)
四分位数计算：
• \(Q_1\)位置\(\frac{95}{4}=23.75\)，向上取整第24个数据，落在"37"组，故\(Q_1=37\)
• \(Q_2\)位置\(\frac{95}{2}=47.5\)，向上取整第48个数据，落在"38"组，故\(Q_2=38\)
• \(Q_3\)位置\(\frac{3×95}{4}=71.25\)，向上取整第72个数据，落在"38"组，故\(Q_3=38\)
酒店电梯故障次数分组表：
| 故障次数 | 0-1 | 2-3 | 4-5 |
|---|---|---|---|
| 频率 | 18 | 7 | 1 |
用插值法估计中位数
累计频率：18, 25, 26
中位数位置\(\frac{26}{2}=13\)，落在"0-1"组（组边界-0.5~1.5）
插值计算：\(\text{中位数} = -0.5 + \frac{13-0}{18}×2 ≈ 0.944\)
奶牛体重分组表：
| 体重(kg) | 300-349 | 350-399 | 400-449 | 450-499 | 500-549 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率 | 3 | 6 | 10 | 7 | 5 |
a. 中位数
b. 下四分位数\(Q_1\)
c. 上四分位数\(Q_3\)
d. 解释\(Q_3\)的含义
累计频率：3, 9, 19, 26, 31
a. 中位数：位置\(\frac{31}{2}=15.5\)，落在"400-449"组（组边界399.5~449.5）
插值计算：\(399.5 + \frac{15.5-9}{10}×50 = 432\)
b. 下四分位数\(Q_1\)：位置\(\frac{31}{4}=7.75\)，落在"350-399"组（组边界349.5~399.5）
插值计算：\(349.5 + \frac{7.75-3}{6}×50 ≈ 389.08\)
c. 上四分位数\(Q_3\)：位置\(\frac{3×31}{4}=23.25\)，落在"450-499"组（组边界449.5~499.5）
插值计算：\(449.5 + \frac{23.25-19}{7}×50 ≈ 479.86\)
d. 解释：约75%的奶牛体重不超过479.86kg，25%的奶牛体重超过它
救援等待时间分组表：
| 等待时间t(分钟) | 20≤t<30 | 30≤t<40 | 40≤t<50 | 50≤t<60 | 60≤t<70 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率 | 6 | 10 | 18 | 13 | 2 |
a. 均值
b. 第65百分位数
c. 验证广告声明"90%客户等待不超过56分钟"
累计频率：6, 16, 34, 47, 49
a. 均值：组中值25,35,45,55,65，均值\(\frac{25×6+35×10+45×18+55×13+65×2}{49}≈43.98\)
b. 第65百分位数：位置\(\frac{65×49}{100}=31.85\)，落在"40≤t<50"组（组边界39.5~50.5）
插值计算：\(39.5 + \frac{31.85-16}{18}×10≈48.31\)
c. 验证广告声明：计算第90百分位数，位置\(\frac{90×49}{100}=44.1\)，落在"50≤t<60"组（组边界49.5~60.5）
插值计算：\(49.5 + \frac{44.1-34}{13}×10≈57.27\)
即仅10%客户等待超过57.27分钟，而声明中是56分钟，故声明不成立
秃鹰翼展分组表：
| 翼展w(m) | 1.0≤w<1.5 | 1.5≤w<2.0 | 2.0≤w<2.5 | 2.5≤w<3.0 | 3.0≤w |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率 | 4 | 20 | 37 | 28 | 11 |
a. 第80百分位数
b. 解释为什么无法估计第90百分位数
累计频率：4, 24, 61, 89, 100
a. 第80百分位数：位置\(80\)，落在"2.5≤w<3.0"组（组边界2.5~3.0）
插值计算：\(2.5 + \frac{80-61}{28}×0.5≈2.839\)
解释：80%的秃鹰翼展不超过2.839m
b. 无法估计第90百分位数的原因：最后一组"3.0≤w"无明确上边界，无法通过插值法准确计算
题目：珀斯气压数据
解答过程：
排序后：1009,1013,1014,1017,1017,1017,1018,1019,1021,1022,1024,1024,1025,1027,1029,1031
a. 中位数：第8、9个数据为1019和1021，中位数\(\frac{1019+1021}{2}=1020\)
b. 四分位数：\(Q_1=1017\), \(Q_3=1024.5\)
答案：a. 1020；b. \(Q_1=1017\), \(Q_3=1024.5\)
题目：学生藏书数量频率表
解答过程：
总频数\(n=95\)
\(Q_1\)位置\(\frac{95}{4}=23.75\)，向上取整第24个数据，落在"37"组，故\(Q_1=37\)
\(Q_2\)位置\(\frac{95}{2}=47.5\)，向上取整第48个数据，落在"38"组，故\(Q_2=38\)
\(Q_3\)位置\(\frac{3×95}{4}=71.25\)，向上取整第72个数据，落在"38"组，故\(Q_3=38\)
答案：\(Q_1=37\), \(Q_2=38\), \(Q_3=38\)
题目：酒店电梯故障次数分组表
解答过程：
累计频率：18, 25, 26
中位数位置\(\frac{26}{2}=13\)，落在"0-1"组（组边界-0.5~1.5）
插值计算：\(\text{中位数} = -0.5 + \frac{13-0}{18}×2 ≈ 0.944\)
答案：0.944
题目：奶牛体重分组表
解答过程：
累计频率：3, 9, 19, 26, 31
a. 中位数：位置\(\frac{31}{2}=15.5\)，落在"400-449"组，插值计算得432
b. 下四分位数\(Q_1\)：位置\(\frac{31}{4}=7.75\)，落在"350-399"组，插值计算得389.08
c. 上四分位数\(Q_3\)：位置\(\frac{3×31}{4}=23.25\)，落在"450-499"组，插值计算得479.86
d. 解释：约75%的奶牛体重不超过479.86kg
答案：a. 432；b. 389.08；c. 479.86；d. 约75%的奶牛体重不超过479.86kg
题目：救援等待时间分组表
解答过程：
累计频率：6, 16, 34, 47, 49
a. 均值：组中值25,35,45,55,65，均值\(\frac{25×6+35×10+45×18+55×13+65×2}{49}≈43.98\)
b. 第65百分位数：位置\(\frac{65×49}{100}=31.85\)，落在"40≤t<50"组，插值计算得48.31
c. 验证广告声明：计算第90百分位数得57.27，而声明中是56分钟，故声明不成立
答案：a. 43.98；b. 48.31；c. 声明不成立
题目：秃鹰翼展分组表
解答过程：
累计频率：4, 24, 61, 89, 100
a. 第80百分位数：位置\(80\)，落在"2.5≤w<3.0"组，插值计算得2.839
解释：80%的秃鹰翼展不超过2.839m
b. 无法估计第90百分位数的原因：最后一组"3.0≤w"无明确上边界，无法通过插值法准确计算
答案：a. 2.839；b. 最后一组无明确上边界
通过这些练习题，我们系统复习了其他位置度量章节的核心知识点，包括四分位数计算、插值法和百分位数。重点掌握了：
核心技能：四分位数计算、插值法应用、百分位数计算、分组数据处理
这些练习题涵盖了其他位置度量的各个重要方面，通过实际计算可以加深对分位数的理解，为后续箱线图和统计推断学习打下坚实基础。