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2.3 Other Measures of Location

其他位置度量 - 四分位数、百分位数与插值法

一、核心知识点

1. 四分位数（Quartiles）

定义：将数据分为四等份的三个分位点，分别是：

  • 下四分位数（\(Q_1\)）：数据的第25百分位数，约25%的数据小于它。
  • 中位数（\(Q_2\)）：数据的第50百分位数，约50%的数据小于它。
  • 上四分位数（\(Q_3\)）：数据的第75百分位数，约75%的数据小于它。

2. 离散数据的四分位数计算规则

  • \(Q_1\) 位置：\(\frac{n}{4}\)。若结果为整数，取该位置与下一个位置数据的平均值；若为非整数，向上取整取对应位置数据。
  • \(Q_2\) 位置：\(\frac{n}{2}\)，计算方法同中位数。
  • \(Q_3\) 位置：\(\frac{3n}{4}\)，计算方法同\(Q_1\)。

3. 百分位数（Percentiles）

定义：将数据分为100等份的99个分位点，第\(p\)百分位数（\(P_p\)）表示约\(p\%\)的数据小于它，\((100-p)\%\)的数据大于它。

4. 分组连续数据的插值法（Interpolation）

适用场景：当数据以分组频率表呈现时，通过假设组内数据均匀分布，估计中位数、四分位数、百分位数。

关键步骤：

  1. 计算累计频率，确定目标分位数所在的组。
  2. 利用组边界、组内累计频率占比，通过比例关系计算估计值。
\[ \text{估计值} = \text{组下限} + \frac{\text{目标位置}-\text{前一组累计频率}}{\text{本组频率}} × \text{组宽} \]

二、例题

例题1：离散数据的四分位数 | Example 1: Quartiles for Discrete Data

题目 | Question：20名员工的通勤距离（km）：1,3,3,3,4,4,6,7,7,7,9,10,11,11,12,13,14,16,18,23，求中位数和四分位数。| The commuting distances (km) of 20 employees are: 1,3,3,3,4,4,6,7,7,7,9,10,11,11,12,13,14,16,18,23. Find the median and quartiles.

解答

中位数（\(Q_2\)）：位置\(\frac{20+1}{2}=10.5\)，取第10和11个数据（7和9）的平均值，即\(\frac{7+9}{2}=8\)。

下四分位数（\(Q_1\)）：位置\(\frac{20}{4}=5\)，取第5和6个数据（4和4）的平均值，即\(4\)。

上四分位数（\(Q_3\)）：位置\(\frac{3×20}{4}=15\)，取第15和16个数据（12和13）的平均值，即\(\frac{12+13}{2}=12.5\)。

例题2：分组数据的插值法 | Example 2: Interpolation for Grouped Data

题目：学生每日上网时间分组表如下，估计上四分位数和第10百分位数。

上网时间（分钟） 30-31 32-33 34-36 37-39
频率 2 25 30 13

解答

累计频率：2, 27, 57, 70。

a 上四分位数（\(Q_3\)）：位置\(\frac{3×70}{4}=52.5\)，落在"34-36"组（累计频率27到57）。

组边界33.5~36.5，组宽3，组内位置\(52.5-27=25.5\)。

插值计算：\(Q_3 = 33.5 + \frac{25.5}{30}×3 = 36.05\)。

b 第10百分位数（\(P_{10}\)）：位置\(\frac{10×70}{100}=7\)，落在"32-33"组（累计频率2到27）。

组边界31.5~33.5，组宽2，组内位置\(7-2=5\)。

插值计算：\(P_{10} = 31.5 + \frac{5}{25}×2 = 31.9\)。

三、课堂练习

练习题

  1. 珀斯气压数据：16天日平均气压（hPa）：1024,1022,1021,1013,1009,1018,1017,1024,1027,1029,1031,1025,1017,1019,1017,1014。
    a. 求中位数
    b. 求四分位数
  2. 学生藏书数量频率表：
    a. 求四分位数
    b. 解释结果含义
  3. 酒店电梯故障次数分组表：
    a. 用插值法估计中位数
    b. 解释计算过程

总结

核心要点：其他位置度量的关键是理解四分位数和百分位数的计算：

  • 四分位数将数据分为四等份，反映数据的分布特征；
  • 百分位数提供更精细的数据位置信息；
  • 插值法适用于分组数据，假设组内均匀分布；
  • 离散数据用位置公式，分组数据用插值公式；
  • 累计频率是确定分位数位置的关键。
学习价值

掌握其他位置度量是描述性统计的重要工具，它为后续的箱线图、异常值检测和统计推断提供了基础。通过练习可以培养数据分析和统计思维。