编码 - 简化统计计算的重要方法
定义：编码是一种简化统计计算的方法，通过将原始数据\( x \)按照公式转换为新数据\( y \)，使计算更简便。
其中 \(a\)、\(b\) 为常数，\(a\) 称为平移常数，\(b\) 称为缩放常数。
若 \(y = \frac{x - a}{b}\)，则原始数据的均值 \(\bar{x}\) 与编码后数据的均值 \(\bar{y}\) 满足：
若 \(y = \frac{x - a}{b}\)，则原始数据的标准差 \(\sigma_x\) 与编码后数据的标准差 \(\sigma_y\) 满足：
注意：常数 \(a\) 不影响标准差，因为加减常数不改变数据的离散程度。
编码的优势：
题目：科学家测量核反应堆5个点的温度\( x \)（℃）：332, 355, 306, 317, 340，使用编码\( y = \frac{x - 300}{10} \)。
a 对数据进行编码；b 计算编码后数据的均值和标准差；c 还原原始数据的均值和标准差。
a 编码后的数据：
\( y_1 = \frac{332 - 300}{10} = 3.2 \)
\( y_2 = \frac{355 - 300}{10} = 5.5 \)
\( y_3 = \frac{306 - 300}{10} = 0.6 \)
\( y_4 = \frac{317 - 300}{10} = 1.7 \)
\( y_5 = \frac{340 - 300}{10} = 4.0 \)
编码后数据：\( 3.2, 5.5, 0.6, 1.7, 4.0 \)
b 编码后数据的统计量：
• 均值：\(\bar{y} = \frac{3.2 + 5.5 + 0.6 + 1.7 + 4.0}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
• 平方和：\(\sum y^2 = 3.2^2 + 5.5^2 + 0.6^2 + 1.7^2 + 4.0^2 = 10.24 + 30.25 + 0.36 + 2.89 + 16 = 59.74\)
• 方差：\(\sigma_y^2 = \frac{59.74}{5} - 3^2 = 11.948 - 9 = 2.948\)
• 标准差：\(\sigma_y = \sqrt{2.948} \approx 1.72\)
c 还原原始数据的统计量：
• 原始均值：\(\bar{x} = b\bar{y} + a = 10 \times 3 + 300 = 330\)℃
• 原始标准差：\(\sigma_x = b\sigma_y = 10 \times 1.72 = 17.2\)℃
题目：芝加哥阵风数据编码为\( h = \frac{g - 5}{10} \)，已知编码后均值\(\bar{h} = 2\)，\( S_{hh} = 43.58 \)，\( n = 61 \)，求原始阵风的均值和标准差。
已知条件：
• 编码公式：\( h = \frac{g - 5}{10} \)
• 编码后均值：\(\bar{h} = 2\)
• 编码后平方和：\( S_{hh} = 43.58 \)
• 数据个数：\( n = 61 \)
计算编码后标准差：
\(\sigma_h = \sqrt{\frac{S_{hh}}{n}} = \sqrt{\frac{43.58}{61}} = \sqrt{0.714} \approx 0.845\)
还原原始数据统计量：
• 原始均值：\(\bar{g} = b\bar{h} + a = 10 \times 2 + 5 = 25\) knots
• 原始标准差：\(\sigma_g = b\sigma_h = 10 \times 0.845 = 8.45\) knots
题目：Akira的通话时长分组表如下，使用编码\( y = \frac{x - 7.5}{5} \)，估计原始数据的均值和标准差。
| 通话时长\( x \)（分钟） | \( 0 < x \leq 5 \) | \( 5 < x \leq 10 \) | \( 10 < x \leq 15 \) | \( 15 < x \leq 20 \) | \( 20 < x \leq 60 \) | \( 60 < x \leq 70 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 频率\( f \) | 4 | 15 | 5 | 2 | 0 | 1 |
步骤1：计算编码后的统计量
| 时长区间 | 组中值\( x \) | 编码值\( y \) | 频率\( f \) | \( fy \) | \( fy^2 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 < x \leq 5 \) | 2.5 | -1.0 | 4 | -4 | 4 |
| \( 5 < x \leq 10 \) | 7.5 | 0.0 | 15 | 0 | 0 |
| \( 10 < x \leq 15 \) | 12.5 | 1.0 | 5 | 5 | 5 |
| \( 15 < x \leq 20 \) | 17.5 | 2.0 | 2 | 4 | 8 |
| \( 20 < x \leq 60 \) | 40 | 6.5 | 0 | 0 | 0 |
| \( 60 < x \leq 70 \) | 65 | 11.5 | 1 | 11.5 | 132.25 |
| 总计 | - | - | 27 | 16.5 | 149.25 |
步骤2：计算编码后统计量
• 编码后均值：\(\bar{y} = \frac{16.5}{27} = 0.611\)
• 编码后方差：\(\sigma_y^2 = \frac{149.25}{27} - (0.611)^2 = 5.528 - 0.373 = 5.155\)
• 编码后标准差：\(\sigma_y = \sqrt{5.155} = 2.27\)
步骤3：还原原始数据统计量
• 原始均值：\(\bar{x} = b\bar{y} + a = 5 \times 0.611 + 7.5 = 3.055 + 7.5 = 10.555 \approx 10.56\)分钟
• 原始标准差：\(\sigma_x = b\sigma_y = 5 \times 2.27 = 11.35\)分钟
题目：数据\( x \)：110, 90, 50, 80, 30, 70, 60，使用编码\( y = \frac{x}{10} \)。
a 编码后数据；b 编码后均值；c 原始均值
a 编码后数据：
\( y = \frac{x}{10} \)，即 \( y = \frac{x - 0}{10} \)（\( a = 0, b = 10 \)）
编码后：\( 11, 9, 5, 8, 3, 7, 6 \)
b 编码后均值：
\(\bar{y} = \frac{11 + 9 + 5 + 8 + 3 + 7 + 6}{7} = \frac{49}{7} = 7\)
c 原始均值：
\(\bar{x} = b\bar{y} + a = 10 \times 7 + 0 = 70\)
题目：数据\( x \)：52, 73, 31, 73, 38, 80, 17, 24，使用编码\( y = \frac{x - 3}{7} \)。
a 编码后数据；b 编码后均值；c 原始均值
a 编码后数据：
\( y = \frac{x - 3}{7} \)（\( a = 3, b = 7 \)）
编码后：\( 7, 10, 4, 10, 5, 11, 2, 3 \)
b 编码后均值：
\(\bar{y} = \frac{7 + 10 + 4 + 10 + 5 + 11 + 2 + 3}{8} = \frac{52}{8} = 6.5\)
c 原始均值：
\(\bar{x} = b\bar{y} + a = 7 \times 6.5 + 3 = 45.5 + 3 = 48.5\)
核心要点：编码是简化统计计算的重要方法：
掌握编码方法是统计学中的重要技能，它不仅简化了计算过程，还帮助我们更好地理解数据变换对统计量的影响。在实际应用中，编码常用于处理大数值数据，使计算更加高效准确。