统计学中的位置与离散程度度量（含编码）
定义：数据中出现频率最高的数值或组别。
例题：Example 4（衬衫领围尺寸），领围\( 16.5 \)的频率最高（34），故众数为\( 16.5 \)。
定义：数据排序后位于中间位置的数值。
例题：Example 4（衬衫领围尺寸），总频数95，中间位置第48位对应领围16；Example 6（员工通勤距离），20个数据的中位数是第10.5位，即\( \frac{7+9}{2}=8 \) km。
定义：算术平均值，公式\( \bar{x} = \frac{\sum x}{n} \)。
例题：Example 9（测试分数），7名学生分数和为36，均值\( \bar{x} = \frac{36}{7} \approx 5.14 \)；Example 3（合并均值），25个观测均值6.4，30个观测均值7.2，总均值\( \bar{x} = \frac{25×6.4 + 30×7.2}{25+30} \approx 6.84 \)。
定义：频率表数据的均值公式\( \bar{x} = \frac{\sum xf}{\sum f} \)（\( x \)为数据值，\( f \)为频率）。
例题：Example 4（衬衫领围尺寸），计算得均值\( \bar{x} = \frac{1537.5}{95} = 16.2 \)；Example 10（午餐外出时长），均值\( \bar{x} = \frac{3082}{83} \approx 37.13 \) 分钟。
定义：数据第25%位置的数值，计算方法：\( n/4 \)，整数则取中间值，否则向上取整。
例题：Example 6（员工通勤距离），\( n=20 \)，\( Q_1 \)位置\( 20/4=5 \)，取第5、6位数据（4和4）的平均值，\( Q_1=4 \) km。
定义：数据第75%位置的数值，计算方法：\( 3n/4 \)，整数则取中间值，否则向上取整。
例题：Example 6（员工通勤距离），\( n=20 \)，\( Q_3 \)位置\( 3×20/4=15 \)，取第15、16位数据（12和13）的平均值，\( Q_3=12.5 \) km。
定义：最大值与最小值的差，公式\( \text{Range} = \text{最大值} - \text{最小值} \)。
例题：Example 8（非洲象体重），体重范围\( 4.0 \leq m < 6.5 \)，故极差\( = 6.5 - 4.0=2.5 \) 吨。
定义：上四分位数与下四分位数的差，公式\( \text{IQR} = Q_3 - Q_1 \)。
例题：Example 8（非洲象体重），\( Q_3≈5.84 \) 吨，\( Q_1≈4.87 \) 吨，IQR\( = 5.84 - 4.87=0.97 \) 吨。
定义：两个给定百分位数的差值（如10th到90th百分位距）。
例题：Example 8（非洲象体重），10th百分位数≈4.46吨，90th百分位数≈6.18吨，百分位距\( = 6.18 - 4.46=1.72 \) 吨。
定义：衡量数据分散程度，公式\( \sigma^2 = \frac{\sum (x-\bar{x})^2}{n} = \frac{\sum x^2}{n} - \left( \frac{\sum x}{n} \right)^2 \)；频率表数据公式为\( \sigma^2 = \frac{\sum fx^2}{\sum f} - \left( \frac{\sum fx}{\sum f} \right)^2 \)。
例题：Example 9（测试分数），方差\( \sigma^2 = \frac{218}{7} - \left( \frac{36}{7} \right)^2 \approx 4.69 \)；Example 10（午餐外出时长），方差\( \sigma^2 = \frac{114504}{83} - \left( \frac{3082}{83} \right)^2 \approx 0.741 \)。
定义：方差的平方根，公式\( \sigma = \sqrt{\text{方差}} \)。
例题：Example 9（测试分数），标准差\( \sigma = \sqrt{4.69} \approx 2.17 \)；Example 11（通话时长），标准差\( \sigma \approx 11.4 \) 分钟。
定义：分组频率表中用组中值代替数据，按频率表公式计算。
例题：Example 11（通话时长），通过组中值计算得标准差≈11.4分钟；Example 14（通话时长编码），编码后还原得标准差≈11.35分钟。
定义：通过\( y = \frac{x - a}{b} \)简化计算，均值变换\( \bar{y} = \frac{\bar{x} - a}{b} \implies \bar{x} = b\bar{y} + a \)，标准差变换\( \sigma_y = \frac{\sigma_x}{b} \implies \sigma_x = b\sigma_y \)。
例题：Example 12（核反应堆温度），编码\( y = \frac{x - 300}{10} \)，还原得原始均值330℃，标准差17.2℃；Example 13（阵风数据），编码\( h = \frac{g - 5}{10} \)，还原得原始均值25 knots，标准差8.45 knots。
定义：组A（\( n_1, \bar{x}_1 \)）与组B（\( n_2, \bar{x}_2 \)）合并后总均值\( \bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} \)。
例题：Example 3（观测数据合并），25个观测均值6.4，30个观测均值7.2，总均值\( \bar{x} = \frac{25×6.4 + 30×7.2}{55} \approx 6.84 \)。
本章核心要点：
本章内容是描述性统计的核心，为后续的统计推断、假设检验和数据分析奠定基础。掌握这些度量方法能够帮助我们更好地理解和分析数据，做出合理的统计判断。