4.2 Venn diagrams

1. 维恩图定义与基本元素

维恩图是一种图形化表示事件的工具，可在区域中放置频率或概率，直观展示样本空间与事件的关系。

基本元素：

• 样本空间 \( \mathcal{E} \)：用矩形表示，包含所有可能结果
• 事件：用闭合曲线（通常是圆形）表示
• 频率/概率：在相应区域中填入数值

2. 关键集合运算

交集（\( A \cap B \)）：事件"A且B"，即A和B同时发生的重叠区域。

并集（\( A \cup B \)）：事件"A或B（或两者都发生）"，即A、B及交集区域的合并。

补集（\( A' \)）：事件"非A"，即样本空间中不属于A的区域。

3. 维恩图应用场景

通过在维恩图中填充频率或概率，可解决复合事件的概率计算问题：

• 分析两个或多个事件的关系
• 计算复合事件的概率
• 解决包含"且""或""非"等逻辑连接词的问题
• 处理"仅A""非B"等复杂条件

1. 两事件维恩图技巧

数据填充顺序：

• 先填充交集区域
• 再填充单独区域
• 最后计算都不属于的区域

常见问题类型：

• "仅A"：A区域减去交集
• "非A"：样本空间减去A区域
• "A或B"：A区域加B区域减去交集

2. 三事件维恩图技巧

数据填充顺序：

• 先填充中心交集（三者都发生）
• 再填充两两交集
• 最后填充单独区域

计算技巧：

• 从已知的交集数据开始
• 逐步向外计算各区域
• 注意重叠部分的重复计算

3. 概率公式应用

并集公式的应用：

• 当已知 \( P(A) \)、\( P(B) \) 和 \( P(A \cup B) \) 时，可求 \( P(A \cap B) \)
• 当已知 \( P(A) \)、\( P(B) \) 和 \( P(A \cap B) \) 时，可求 \( P(A \cup B) \)

补集公式的应用：

• 计算"非A"的概率：\( P(A') = 1 - P(A) \)
• 计算"都不发生"的概率：\( P(\text{neither}) = 1 - P(A \cup B) \)

维恩图解题的关键要点

1. 数据填充顺序：从交集开始，逐步向外

2. 区域识别：准确识别"仅A""A且B""A或B"等区域

3. 公式应用：熟练使用并集和补集公式

4. 验证检查：确保总数正确，无遗漏或重复

5. 问题理解：准确理解"且""或""非"等逻辑关系