集合符号 - 概率事件关系的简洁表达
在概率中，集合符号用于简洁描述事件关系，核心符号及含义如下：
独立事件：若A、B独立，则 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
互斥事件：若A、B互斥，则 \( A \cap B = \emptyset \)，\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
补集关系：概率满足 \( P(A') = 1 - P(A) \)
集合符号可以清晰表达复杂的事件关系：
A card is selected at random from a pack of 52 playing cards. Let \( A \) be the event that the card is an Ace and \( D \) the event that the card is a diamond. Find:
a) \( P(A \cap D) \)
b) \( P(A \cup D) \)
c) \( P(A') \)
d) \( P(A' \cap D) \)
a) \( P(A \cap D) \)
\( A \cap D \)表示"方块A"，一副牌中仅1张，故 \( P(A \cap D) = \frac{1}{52} \)。
b) \( P(A \cup D) \)
\( A \cup D \)表示"Ace或方块或两者"，Ace有4张，方块有13张，重复1张（方块A），总数 \( 4 + 13 - 1 = 16 \)，概率 \( P(A \cup D) = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \)。
c) \( P(A') \)
\( A' \)表示"不是Ace"，非Ace牌有 \( 52 - 4 = 48 \)张，概率 \( P(A') = \frac{48}{52} = \frac{12}{13} \)。
d) \( P(A' \cap D) \)
\( A' \cap D \)表示"不是Ace的方块"，方块共13张，减去方块A剩12张，概率 \( P(A' \cap D) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13} \)。
a) Given that \( P(A) = 0.3 \), \( P(B) = 0.4 \) and \( P(A \cap B) = 0.25 \), explain why events \( A \) and \( B \) are not independent.
b) Given also that \( P(C) = 0.2 \), that events \( A \) and \( C \) are mutually exclusive and that events \( B \) and \( C \) are independent, draw a Venn diagram to illustrate the events \( A \), \( B \) and \( C \), showing the probabilities for each region.
c) Find \( P((A \cap B') \cup C) \)
a) 独立性判断
若\( A \)、\( B \)独立，需满足 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12 \)，但题目中 \( P(A \cap B) = 0.25 \neq 0.12 \)，故\( A \)、\( B \)不独立。
b) 维恩图绘制
样本空间 \( \mathcal{E} \) (概率和为1)
三个圆形分别代表：事件 \( A \)、事件 \( B \)、事件 \( C \)
计算各区域概率：
c) \( P((A \cap B') \cup C) \)
\( A \cap B' \)是仅\( A \)的区域（0.05），\( C \)的区域为0.2（仅\( C \)和\( B \cap C \)），且两者互斥，故 \( P((A \cap B') \cup C) = 0.05 + 0.2 = 0.25 \)。
维恩图通过图形直观展示集合符号表示的事件关系：
对于三个事件，集合符号更加复杂：
集合符号帮助我们精确描述复杂的事件关系：