条件概率 - 在已知条件下事件发生的概率计算
条件概率描述一个事件已发生时，另一个事件发生的概率，用符号 \( P(B|A) \) 表示"在A发生的条件下B发生的概率"。
计算公式：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
实际含义：当我们知道A已经发生时，重新评估B发生的可能性。
对于独立事件，满足 \( P(A|B) = P(A|B') = P(A) \)，\( P(B|A) = P(B|A') = P(B) \)（可通过此条件判断事件是否独立）。
独立性判断：
解题时可利用受限样本空间（仅考虑一个事件已发生的结果集合）计算概率。
应用方法：
双向表（列联表）是计算条件概率的重要工具：
A school has 75 students in year 12. Of these students, 25 study only humanities subjects (\( H \)) and 37 study only science subjects (\( S \)). 11 students study both science and humanities subjects.
a) Draw a two-way table to show this information.
b) Find:
i) \( P(S' \cap H') \)
ii) \( P(S|H) \)
iii) \( P(H|S') \)
a) 构建双向表
| \( H \) | \( H' \) | Total | |
|---|---|---|---|
| \( S \) | 11 | 37 | 48 |
| \( S' \) | 25 | 2 | 27 |
| Total | 36 | 39 | 75 |
b) 概率计算
i) \( P(S' \cap H') \)
既不学科学也不学人文的学生：2人，故 \( P(S' \cap H') = \frac{2}{75} \)
ii) \( P(S|H) \)
受限样本空间为"学人文的学生总数（36人）"，学人文且学科学的学生：11人，故 \( P(S|H) = \frac{11}{36} \)
iii) \( P(H|S') \)
受限样本空间为"不学科学的学生总数（27人）"，不学科学但学人文的学生：25人，故 \( P(H|S') = \frac{25}{27} \)
Two four-sided dice are thrown together, and the sum of the numbers shown is recorded.
a) Draw a sample-space diagram showing the possible outcomes.
b) Given that at least one dice lands on a 3, find the probability that the sum on the two dice is exactly 5.
c) State one modelling assumption used in your calculations.
a) 样本空间图
| Dice 2 \ Dice 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
b) 条件概率计算
至少一个骰子为3的结果有7个：\( (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3) \)。
其中和为5的结果有2个：\( (2,3), (3,2) \)，故 \( P(\text{sum}=5 | \text{at least one 3}) = \frac{2}{7} \)
c) 建模假设
两个骰子公平，所有结果等可能。
当知道联合概率和边缘概率时，使用公式 \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
步骤：
当可以通过计数解决问题时，使用受限样本空间方法：
步骤：
对于分类数据，使用双向表计算条件概率：
步骤：
通过比较条件概率与无条件概率判断独立性：
判断准则：