← 返回第4章导航

4.6 Conditional probabilities in Venn diagrams

维恩图中的条件概率 - 通过图形化方法计算条件概率

一、关键知识点

1. 维恩图中的受限样本空间

条件概率可通过维恩图的"受限样本空间"计算，即仅考虑给定事件已发生的区域。

核心思想：将样本空间限制为条件事件发生的区域，重新计算概率比例。

图形化表示：在维恩图中，条件概率是交集区域相对于条件事件总区域的比例。

2. 条件概率公式在维恩图中的应用

核心公式：\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)，其中分子为A与B的交集概率，分母为事件B发生的总概率（受限样本空间的概率）。

维恩图解读：

  • 分子 \( P(A \cap B) \)：交集区域的概率
  • 分母 \( P(B) \)：B事件所有区域的概率和
  • 比值：交集区域相对于B总区域的比例

3. 复合条件概率

对于复杂的条件表达式，需要逐步分解：

  • 复合条件：\( P((A \cap B)|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \)
  • 补集条件：\( P(A'|B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)} \)
  • 并集条件：\( P(A \cup B|C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} \)

4. 多事件维恩图的条件概率

在三事件维恩图中计算条件概率：

  • 两事件交集：\( P(A \cap B|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \)
  • 补集条件：需要计算不属于某些事件的区域
  • 复合表达式：逐步分解复杂的逻辑表达式

二、例题

Example 12

A和B是两个事件，满足\( P(A) = 0.55 \)，\( P(B) = 0.4 \)，\( P(A \cap B) = 0.15 \)

a) 绘制展示事件A和B概率的维恩图。

b) 求：

    i) \( P(A|B) \)

    ii) \( P(B|A \cup B) \)

    iii) \( P(A'|B') \)

解答

a) 维恩图区域概率

两事件维恩图概率分布

样本空间概率总和为1

  • 仅A：\( 0.55 - 0.15 = 0.4 \)
  • A ∩ B：0.15
  • 仅B：\( 0.4 - 0.15 = 0.25 \)
  • 既不A也不B：\( 1 - 0.4 - 0.15 - 0.25 = 0.2 \)

b) 条件概率计算

i) \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.15}{0.4} = \frac{3}{8} \)

ii) \( P(A \cup B) = 0.4 + 0.15 + 0.25 = 0.8 \)，故 \( P(B|A \cup B) = \frac{0.15 + 0.25}{0.8} = \frac{1}{2} \)

iii) \( P(B') = 1 - 0.4 = 0.6 \)，\( P(A' \cap B') = 0.2 \)，故 \( P(A'|B') = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \)

三事件维恩图条件概率

考虑三事件A、B、C的维恩图，已知各区域概率。计算复杂条件概率时，需要：

  • 识别条件事件涉及的所有区域
  • 计算目标事件在这些区域中的概率
  • 求出条件概率的比值

计算示例

假设维恩图区域概率：

  • 仅A：0.2，A∩B（不含C）：0.2，仅B：0.12
  • A∩C（不含B）：0.05，B∩C（不含A）：0.08，仅C：0.1
  • A∩B∩C：0.1，既不：0.15

计算 \( P(A|B) \)：

\( P(A \cap B) = 0.2 + 0.1 = 0.3 \)

\( P(B) = 0.2 + 0.1 + 0.08 + 0.12 = 0.5 \)

\( P(A|B) = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 \)

三、维恩图条件概率计算技巧

1. 两事件维恩图技巧

区域识别：

  • 仅A：\( P(A) - P(A \cap B) \)
  • 仅B：\( P(B) - P(A \cap B) \)
  • A∩B：已知
  • 既不：\( 1 - P(A \cup B) \)

条件概率计算：

  • \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
  • \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)

2. 三事件维恩图技巧

区域计算：

  • 计算两两交集：\( P(A \cap B) = P(A \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C') \)
  • 计算边缘概率：\( P(A) = 仅A + A∩B + A∩C - A∩B∩C \)
  • 注意三重交集的重复计算

复杂条件概率：

  • 逐步分解复合条件表达式
  • 先计算分子（交集），再计算分母（条件事件）

3. 补集条件概率技巧

补集识别：

  • \( P(A'|B) = 1 - P(A|B) \)
  • \( P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) \)
  • 补集条件是原条件概率的补集

计算方法：

  • 先计算原条件概率
  • 用1减去得到补集条件概率

4. 复合条件表达式技巧

分解策略：

  • 将复合条件分解为基本集合运算
  • 逐步计算每个部分的概率
  • 组合得到最终结果

常见模式：

  • \( P((A \cap B)|C) \)
  • \( P(A|(B \cup C)) \)
  • \( P((A' \cup B')|C) \)