概率论综合练习 - 检验第4章概率知识的掌握程度
以下是第4章概率论的综合练习题，涵盖所有核心概念和计算方法。请认真解答，检验自己的掌握程度。
A和B是两个事件，已知\( P(A) = 0.6 \)，\( P(B) = 0.7 \)，\( P(A \cup B) = 0.85 \)。求：
a) \( P(A \cap B) \)
b) \( P(A|B) \)
c) \( P(B|A) \)
d) 判断A和B是否独立
解答过程：
a) \( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.7 - 0.85 = 0.45 \)
b) \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.45}{0.7} = 0.6429 \)
c) \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.45}{0.6} = 0.75 \)
d) \( P(A) \times P(B) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 \neq 0.45 = P(A \cap B) \)，故不独立。
一个袋子里有8个红球和6个蓝球。不放回地抽取两个球。求：
a) 两个球都是红球的概率
b) 第一个球是红球且第二个球是蓝球的概率
c) 至少有一个球是红球的概率
解答过程：
a) \( \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} = \frac{56}{182} = \frac{28}{91} \)
b) \( \frac{8}{14} \times \frac{6}{13} = \frac{48}{182} = \frac{24}{91} \)
c) 1 - \( \frac{6}{14} \times \frac{5}{13} = 1 - \frac{30}{182} = \frac{152}{182} = \frac{76}{91} \)
某种疾病的发病率为0.01。检测阳性的概率为0.95（真阳性），假阳性率为0.05。求：
a) 检测阳性时实际患病的概率
b) 检测阴性时实际健康的概率
解答过程：
设 \( D \) = 患病，\( T \) = 检测阳性。
\( P(D) = 0.01 \)，\( P(T|D) = 0.95 \)，\( P(T|D') = 0.05 \)，\( P(D') = 0.99 \)
a) \( P(D|T) = \frac{P(T|D) \times P(D)}{P(T)} = \frac{0.95 \times 0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99} = \frac{0.0095}{0.0095 + 0.0495} = \frac{0.0095}{0.059} \approx 0.161 \)
b) \( P(D'|T') = \frac{P(T'|D') \times P(D')}{P(T')} = \frac{0.95 \times 0.99}{0.95 \times 0.99 + 0.05 \times 0.01} = \frac{0.9405}{0.9405 + 0.0005} \approx 0.9995 \)
掷两个骰子，已知至少有一个骰子显示6，求两个骰子点数之和为8的概率。
解答过程：
至少一个6的情况（11种）：
(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
和为8的情况（2种）：
(2,6), (6,2)
\( P(\text{sum}=8 | \text{at least one 6}) = \frac{2}{11} \)
一个班级有40名学生，其中25名学生学习数学，20名学生学习物理，15名学生两者都学。求：
a) 仅学习数学的概率
b) 学习数学但不学习物理的概率
c) 既不学习数学也不学习物理的概率
d) 学习物理的条件下学习数学的概率
解答过程：
a) 仅数学：25 - 15 = 10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
b) 数学但不物理：10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
c) 既不：40 - (25 + 20 - 15) = 40 - 30 = 10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
d) \( P(\text{数学}|\text{物理}) = \frac{15}{20} = 0.75 \)
两个事件A和B满足\( P(A) = 0.3 \)，\( P(B) = 0.4 \)，\( P(A|B) = 0.5 \)。求：
a) \( P(A \cap B) \)
b) \( P(A \cup B) \)
c) \( P(B|A) \)
d) \( P(A' \cap B') \)
解答过程：
a) \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = 0.3 \times 0.5 = 0.15 \)
b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.4 - 0.15 = 0.55 \)
c) \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.15}{0.3} = 0.5 \)
d) \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.55 = 0.45 \)
一个硬币连续掷两次。求：
a) 两次都是正面的概率
b) 至少有一次正面的概率
c) 第一次是正面且第二次是反面的概率
解答过程：
a) \( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \)
b) 1 - 两次都是反面的概率 = \( 1 - 0.5 \times 0.5 = 1 - 0.25 = 0.75 \)
c) \( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \)
掷一颗骰子，已知点数大于3，求点数为偶数的概率。
解答过程：
点数大于3的情况：4, 5, 6（3种）
其中偶数的情况：4, 6（2种）
\( P(\text{偶数}|\text{大于3}) = \frac{2}{3} \)
从一副52张扑克牌中抽取一张牌。求：
a) 是红桃的概率
b) 是A的概率
c) 是红桃A的概率
d) 是红桃的条件下是A的概率
解答过程：
a) 红桃：13张，概率 \( \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
b) A：4张，概率 \( \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
c) 红桃A：1张，概率 \( \frac{1}{52} \)
d) \( P(\text{A}|\text{红桃}) = \frac{1}{13} \)
一个公司有200名员工，其中120名男性，80名女性。已知吸烟的男性有48人，吸烟的女性有24人。求：
a) 随机选择一名员工是男性的概率
b) 随机选择一名男性员工吸烟的概率
c) 随机选择一名吸烟员工是女性的概率
d) 吸烟与性别是否独立
解答过程：
a) \( P(\text{男性}) = \frac{120}{200} = 0.6 \)
b) \( P(\text{吸烟}|\text{男性}) = \frac{48}{120} = 0.4 \)
c) 吸烟员工总数：48 + 24 = 72人，吸烟女性：24人，故 \( P(\text{女性}|\text{吸烟}) = \frac{24}{72} = \frac{1}{3} \)
d) \( P(\text{吸烟}) = \frac{72}{200} = 0.36 \)，\( P(\text{吸烟}|\text{男性}) = 0.4 \neq 0.36 \)，故不独立。