Chapter 4 Probability - 章节复习教材

4.1 概率基础术语

关键概念：

• 概率（Probability）：描述事件发生的可能性，取值范围为0（不可能）到1（必然）
• 实验（Experiment）：可重复的过程，产生多个结果
• 事件（Event）：一个或多个结果的集合
• 样本空间（Sample Space）：所有可能结果的集合，用\( \mathcal{E} \)表示

等可能概率公式：\( P(\text{事件}) = \frac{\text{事件包含的结果数}}{\text{样本空间的总结果数}} \)

4.2 维恩图

关键概念：

• 交集（\( A \cap B \)）：事件"A且B"，重叠区域
• 并集（\( A \cup B \)）：事件"A或B（或两者都发生）"，合并区域
• 补集（\( A' \)）：事件"非A"，样本空间中不属于A的区域

概率关系：\( P(A') = 1 - P(A) \)，\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

4.3 互斥与独立事件

互斥事件：不可能同时发生，\( P(A \cap B) = 0 \)，加法公式：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

独立事件：一个事件的发生不影响另一个，\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

关键区别：互斥事件不能同时发生，独立事件可能同时发生但概率不受影响

4.4 集合符号

集合符号表达：

• \( A \cap B \)：A且B
• \( A \cup B \)：A或B
• \( A' \)：非A
• \( A \cap B' \)：A但非B

4.5 条件概率

条件概率公式：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)

独立性判断：若\( P(A|B) = P(A) \)且\( P(B|A) = P(B) \)，则A和B独立

受限样本空间：条件概率改变了样本空间，需要重新归一化

4.6 维恩图中的条件概率

图形化计算：通过维恩图各区域概率的比例关系计算条件概率

复合条件：\( P((A \cap B)|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \)

4.7 概率公式

加法公式：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

乘法公式：\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \)

公式重排：\( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \)

4.8 树状图

分支相乘：连续事件的联合概率等于各分支概率的乘积

放回与不放回：放回时概率不变，不放回时需更新计数

路径相加：互斥事件的概率等于各路径概率的和