概率论核心公式与计算方法 - 系统掌握概率计算技巧
| 概念 | 定义 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 概率 | 事件发生的可能性 |
\(0 \leq P(A) \leq 1\)
\(P(\text{不可能事件}) = 0\)
\(P(\text{必然事件}) = 1\)
|
概率值在0到1之间 |
| 等可能概率 | 结果等可能时的概率 |
\(P(\text{事件}) = \frac{\text{事件包含的结果数}}{\text{样本空间的总结果数}}\)
|
适用于等可能结果 |
| 样本空间 | 所有可能结果的集合 |
\(\mathcal{E}\)
|
用矩形表示 |
| 事件 | 一个或多个结果的集合 |
\(A, B, C, \ldots\)
|
用闭合曲线表示 |
| 运算 | 符号 | 含义 | 概率公式 |
|---|---|---|---|
| 交集 | \(A \cap B\) | A且B同时发生 |
\(P(A \cap B)\)
重叠区域概率
|
| 并集 | \(A \cup B\) | A或B（或两者都发生） |
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
加法公式
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| 补集 | \(A'\) | 非A（A不发生） |
\(P(A') = 1 - P(A)\)
补集概率公式
|
| 差集 | \(A \cap B'\) | A发生但B不发生 |
\(P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)\)
仅A的概率
|
| 事件类型 | 定义 | 概率特征 | 计算公式 |
|---|---|---|---|
| 互斥事件 | 不可能同时发生 | \(P(A \cap B) = 0\) |
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
加法规则
|
| 独立事件 | 一个事件的发生不影响另一个 | \(P(A|B) = P(A)\) |
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
乘法规则
|
| 相依事件 | 一个事件的发生影响另一个 | \(P(A|B) \neq P(A)\) |
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
条件概率公式
|
互斥事件：不可能同时发生，交集概率为0
独立事件：可能同时发生，但概率相互不影响
注意：互斥事件一定是相依事件，而独立事件可能同时发生
| 符号 | 含义 | 概率表达式 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| \(A \cap B\) | A且B | \(P(A \cap B)\) | 两事件同时发生 |
| \(A \cup B\) | A或B | \(P(A \cup B)\) | 至少一个事件发生 |
| \(A'\) | 非A | \(P(A')\) | A不发生 |
| \(A \cap B'\) | A但非B | \(P(A \cap B')\) | A发生但B不发生 |
| \((A \cup B)'\) | 既不A也不B | \(P((A \cup B)')\) | 两事件都不发生 |
| \((A \cap B)'\) | A和B不同时发生 | \(P((A \cap B)')\) | 至少一个事件不发生 |
| 概念 | 定义 | 公式 | 计算方法 |
|---|---|---|---|
| 条件概率 | 在A发生的条件下B发生的概率 |
\(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
|
交集概率除以条件概率 |
| 乘法公式 | 联合概率的计算 |
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
\(P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)\)
|
条件概率乘以无条件概率 |
| 独立性判断 | 判断事件是否独立 |
\(P(A|B) = P(A)\)
\(P(B|A) = P(B)\)
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
|
三个条件等价 |
| 受限样本空间 | 限制在条件事件的结果集合 |
\(P(B|A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{受限总结果数}}\)
|
重新归一化概率 |
| 条件类型 | 公式 | 图形解释 | 计算步骤 |
|---|---|---|---|
| 基本条件概率 | \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) | 交集区域相对于B总区域的比例 | 1. 计算交集概率 2. 计算条件事件概率 3. 求比值 |
| 复合条件 | \(P((A \cap B)|C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)}\) | 三重交集相对于C区域的比例 | 1. 计算三重交集 2. 计算条件事件概率 3. 求比值 |
| 补集条件 | \(P(A'|B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)}\) | B区域内不属于A的部分 | 1. 计算\(P(A' \cap B)\) 2. 计算\(P(B)\) 3. 求比值 |
| 并集条件 | \(P(A \cup B|C) = \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)}\) | C区域内A或B的部分 | 1. 计算并集与C的交集 2. 计算\(P(C)\) 3. 求比值 |
| 公式类型 | 公式 | 适用条件 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| 加法公式 |
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
|
任意两事件 | 计算至少一个事件发生的概率 |
| 乘法公式 |
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
\(P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)\)
|
任意两事件 | 计算两事件同时发生的概率 |
| 公式重排 |
\(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\)
|
已知并集概率 | 从并集概率求交集概率 |
| 独立性公式 |
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
|
独立事件 | 独立事件的联合概率 |
| 实验类型 | 概率计算 | 特点 | 应用 |
|---|---|---|---|
| 放回实验 |
\(P(\text{路径}) = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n\)
各步概率相同
|
每次实验概率不变 | 独立重复实验 |
| 不放回实验 |
\(P(\text{路径}) = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_n\)
各步概率不同
|
每次实验后更新计数 | 有限总体抽样 |
| 路径相加 |
\(P(\text{事件}) = \sum P(\text{路径})\)
互斥路径概率和
|
多个路径导致同一结果 | 复合事件概率 |
| 条件概率 |
\(P(B|A) = \frac{P(\text{AB路径})}{P(\text{A路径})}\)
受限路径概率
|
已知条件后的概率 | 逆向概率计算 |
基本规则：从左到右绘制，每个分支标注概率
概率标注：分支概率和为1，路径概率为分支概率乘积
计算顺序：先计算路径概率，再计算事件概率
| 方法 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 等可能概率 | 结果等可能 | 计算简单直观 | 适用范围有限 |
| 维恩图 | 集合关系复杂 | 图形化直观 | 三事件以上复杂 |
| 树状图 | 连续实验 | 清晰展示过程 | 分支较多时复杂 |
| 概率公式 | 已知部分概率 | 计算精确 | 需要理解公式 |
| 条件概率 | 有已知条件 | 处理复杂情况 | 需要仔细分析 |