Chapter 6 离散随机变量

6.1 离散随机变量 (Discrete Random Variables)

随机变量表示法

随机变量：\(X, Y, Z\)（大写字母）
随机变量取值：\(x, y, z\)（小写字母）
概率表示：\(P(X = x)\)

概率分布性质

\[ \sum P(X = x) = 1 \]

所有可能取值的概率之和等于1

离散随机变量特征

离散性：只能取某些特定数值
随机性：结果在实验前未知
样本空间：变量可能取值的集合

6.2 累积分布函数 (Cumulative Distribution Function)

累积分布函数定义

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

其中：\(F(x)\) = 累积分布函数

累积分布函数性质

单调性：\(F(x)\) 随 \(x\) 增加而增加
边界条件：\(F(-\infty) = 0\)，\(F(\infty) = 1\)
右连续性：\(\lim_{h \to 0^+} F(x+h) = F(x)\)

概率分布与累积分布关系

\[ P(X = x) = F(x) - F(x-1) \]

对于离散随机变量，概率等于累积分布函数的差值

6.3 期望值 (Expected Value)

期望值定义

\[ E(X) = \sum x P(X = x) \]

其中：\(x\) = 随机变量的可能取值

函数期望值

\[ E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x) \]

随机变量函数的期望值

X²的期望值

\[ E(X^2) = \sum x^2 P(X = x) \]

用于计算方差

线性变换期望值

\[ E(aX + b) = aE(X) + b \]

其中：\(a, b\) = 常数

6.4 方差 (Variance)

方差定义

\[ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] \]

随机变量与其期望值的平均平方偏差

方差计算公式

\[ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

通常更容易计算

线性变换方差

\[ \text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X) \]

常数项不影响方差

标准差

\[ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} \]

方差的平方根，单位与原始数据一致

6.5 随机变量函数的期望值和方差 (Expected Value and Variance of Functions)

随机变量和的期望值

\[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) \]

期望值的线性性质

复合函数期望值

\[ E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x) \]

适用于任何函数g

6.7 离散均匀分布 (Discrete Uniform Distribution)

离散均匀分布条件

\[ P(X = x) = \frac{1}{n} \]

其中：\(n\) = 可能取值的个数

离散均匀分布期望值

\[ E(X) = \frac{n + 1}{2} \]

适用于 \(\{1,2,3,\ldots,n\}\)

离散均匀分布方差

\[ \text{Var}(X) = \frac{(n + 1)(n - 1)}{12} \]

适用于 \(\{1,2,3,\ldots,n\}\)

一般离散均匀分布

条件：\(X\) 在 \(n\) 个不同取值上定义
概率：每个取值等可能
应用：骰子、抽签、随机选择等

重要概念与适用场景

随机变量类型判断

离散随机变量：计数结果、有限取值
连续随机变量：测量结果、无限取值
非随机变量：固定值、非实验结果

概率分布建立步骤

步骤1：确定样本空间
步骤2：计算每个结果的概率
步骤3：验证概率和为1
步骤4：建立概率分布表

期望值与方差的应用

期望值：长期平均值、决策依据
方差：数据分散程度、风险评估
标准差：与原始数据同单位的分散度量

重要提醒

• 期望值不一定是随机变量的可能取值

• 方差总是非负的，\(\text{Var}(X) \geq 0\)

• 常数项不影响方差，只有系数影响方差大小

• 离散均匀分布是等概率事件的标准模型

• 在实际应用中要注意区分理论概率和经验概率