P3终极玩家攻略
从核心战术到高分绝杀

核心内容：分子次数≥分母次数→长除法转化为"多项式+真分式"

例：$\frac{2x^2-5x+8}{x-2}=2x-1+\frac{6}{x-2}$

核心内容：

• 一次单因式：$\frac{A}{x-a}$
• 一次重复因式：$\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$
• 二次不可约因式：$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}$

核心内容：设$y=f(x)$→解$x$→换$x/y$，定义域=原函数值域

核心内容：取决于$g(x)$的值域（需满足$f(x)$定义域）

核心内容：$|f(x)|>g(x)$→先画图分区间，不直接平方

核心内容：

• $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
• $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
• $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$

核心内容：

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$

核心内容：

$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta\pm\alpha)$

其中$R=\sqrt{a^2+b^2}$，$\tan\alpha=\frac{|b|}{|a|}$

核心内容：看到$\pi$→RAD模式，看到°→DEG模式

核心内容：

$y=ax^n$→$\log y=n\log x+\log a$（$Y=MX+C$）

核心内容：

$y=ab^x$→$\log y=(\log b)x+\log a$（$Y=MX+C$）

核心内容：

• $\log(ab)=\log a+\log b$
• $\log(a^n)=n\log a$

核心内容：

• 链式法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
• 乘积法则：$y=uv\Rightarrow y'=u'v+uv'$
• 商法则：$y=\frac{u}{v}\Rightarrow y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

核心内容：

• $\frac{d}{dx}(\ln f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}$
• $\frac{d}{dx}(e^{f(x)})=f'(x)e^{f(x)}$
• $\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$

核心内容：

• $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$
• $\int f'(x)[f(x)]^ndx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$）

核心内容：

$\int u dv=uv-\int v du$

核心内容：

$V=\pi\int_{a}^{b}y^2dx$

核心内容：令$f'(x)=0$，必须因式分解（提取$e^{kx}$或公因式）

核心内容：t=0求初值→求导找变化率→导数为零求极值

核心内容：问"rate of increase/decrease"→先求导，再代时间$t$

核心内容：先计算定积分（多为$\ln$形式）→利用单调性去对数→解代数不等式

一、解题步骤（长除法）

1. 判类型：分子2次≥分母1次，用长除法；
2. 求一次项（$Ax$）：$2x^2 \div x = 2x$（即 $A=2$），乘分母得 $2x(x-2)=2x^2 -4x$；
3. 第一余式：$(2x^2 -5x +8) - (2x^2 -4x) = -x +8$；
4. 求常数项（$B$）：$-x \div x = -1$（即 $B=-1$），乘分母得 $-1(x-2)=-x +2$；
5. 求余数（$C$）：$(-x +8) - (-x +2) = 6$（即 $C=6$）；
6. 结果：$2x - 1 + \frac{6}{x - 2}$。

一、解题步骤

1. 判因式类型：分母含一次单因式$(x-1)$和一次重复因式$(x+2)^2$，设分解形式：
   $\frac{5x^2 + 14x + 9}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}$
2. 通分去分母：两边乘$(x-1)(x+2)^2$，得：
   $5x^2 + 14x + 9 = A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)$
3. 求系数$C$：令$x=-2$（消去$A、B$），左边$5(4)+14(-2)+9=20-28+9=1$，右边$C(-3)$，解得$C=-\frac{1}{3}$
4. 求系数$A$：令$x=1$（消去$B、C$），左边$5+14+9=28$，右边$A(3)^2=9A$，解得$A=\frac{28}{9}$
5. 求系数$B$：对比$x^2$项系数，左边$5 = A + B$，代入$A=\frac{28}{9}$，得$B=5 - \frac{28}{9}=\frac{17}{9}$
6. 验证：代入$x=0$，左边$9$，右边$A(4) + B(-2) + C(-1)=\frac{28}{9}×4 - \frac{17}{9}×2 + \frac{1}{3}= \frac{112 - 34 + 3}{9}=\frac{81}{9}=9$，验证正确
7. 结果：$\frac{28}{9(x-1)} + \frac{17}{9(x+2)} - \frac{1}{3(x+2)^2}$

一、解题步骤

(1) 求反函数$g^{-1}(x)$

1. 设$y = g(x)$：$y = \frac{3+5x}{x+2}$（$x≠-2$）
2. 解关于$x$的方程：
   两边乘$x+2$：$y(x+2)=3+5x$
   展开整理：$xy + 2y = 3 + 5x$
   移项合并：$x(y - 5) = 3 - 2y$
   解得：$x = \frac{3 - 2y}{y - 5}$
3. 换$x$与$y$：$g^{-1}(x) = \frac{3 - 2x}{x - 5}$（定义域$x≠5$，原函数值域为$y≠5$）

(2) 求$g(x)$与$g^{-1}(x)$的交点

1. 用快捷技巧：优先解$g(x)=x$（反函数与原函数交点在$y=x$上）
   列方程：$\frac{3+5x}{x+2}=x$
   乘$x+2$：$3+5x = x^2 + 2x$
   整理：$x^2 - 3x - 3 = 0$
2. 求解方程：$x = \frac{3±\sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{3±\sqrt{21}}{2}$
3. 求交点坐标：代入$y=x$，得交点$(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{3+\sqrt{21}}{2})$和$(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, \frac{3-\sqrt{21}}{2})$

一、解题步骤

1. 明确复合函数定义：$fg(x) = f[g(x)] = \sqrt{g(x) - 1}$，外层函数$f(t) = \sqrt{t}$的定义域为$t \geq 1$（即$g(x) \geq 1$）。
2. 列不等式：需满足$g(x) \geq 1$，代入$g(x) = \frac{3x + 2}{x - 1}$，得：
   $\frac{3x + 2}{x - 1} \geq 1$
3. 解分式不等式：
   移项通分：$\frac{3x + 2}{x - 1} - 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{3x + 2 - (x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{2x + 3}{x - 1} \geq 0$
4. 找分界点：分子零点$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$，分母零点$x = 1$（无定义）。
5. 分区间判断符号（数轴穿根法）：
   - $x < -\frac{3}{2}$：分子负、分母负→整体正（满足）；
   - $-\frac{3}{2} \leq x < 1$：分子正、分母负→整体负（不满足）；
   - $x > 1$：分子正、分母正→整体正（满足）；
   - 分子为0时$x = -\frac{3}{2}$，代入验证$g(-\frac{3}{2}) = 1$（满足$g(x) \geq 1$）。
6. 综合结果：$x \leq -\frac{3}{2}$ 或 $x > 1$。

一、解题步骤

1. 找绝对值零点：令$3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$，按零点分区间讨论（避免直接平方产生伪解）。
2. 区间1：$x < 2$
   - 去绝对值：$|3x - 6| = 6 - 3x$（因$3x - 6 < 0$）；
   - 不等式变为：$6 - 3x > \frac{x + 2}{2}$；
   - 两边乘2（正数，不等号不变）：$12 - 6x > x + 2$；
   - 移项整理：$-7x > -10 \Rightarrow x < \frac{10}{7}$；
   - 结合区间条件：$x < \frac{10}{7}$（满足$x < 2$）。
3. 区间2：$x \geq 2$
   - 去绝对值：$|3x - 6| = 3x - 6$（因$3x - 6 \geq 0$）；
   - 不等式变为：$3x - 6 > \frac{x + 2}{2}$；
   - 两边乘2：$6x - 12 > x + 2$；
   - 移项整理：$5x > 14 \Rightarrow x > \frac{14}{5}$；
   - 结合区间条件：$x > \frac{14}{5}$（满足$x \geq 2$）。
4. 综合结果：$x < \frac{10}{7}$ 或 $x > \frac{14}{5}$（数轴表示为两段不连续区间）。

一、解题步骤

1. 倒数函数转化：根据定义，将$\sec x、\tan x、\csc x、\cot x$全部换回$\sin x$和$\cos x$：
   $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，$\csc x = \frac{1}{\sin x}$，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$。
2. 代入表达式化简：
   分子：$\sec x - \tan x = \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$；
   分母：$\csc x + \cot x = \frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$；
   原式化为：$\frac{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}{\frac{1 + \cos x}{\sin x}} = \frac{(1 - \sin x)\sin x}{\cos x(1 + \cos x)}$。
3. 代入$x = \frac{\pi}{3}$计算（确保计算器为RAD模式）：
   $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$；
   分子：$(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4}$；
   分母：$\frac{1}{2} \times (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$；
   最终结果：$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1$。

一、解题步骤

1. 分析被积函数：$\cos^2 2x$ 是二次三角函数，无法直接积分，需用$\cos2\theta$的双角公式降次。
2. 选择双角公式：降次优先用 $ \cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $，变形得 $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2} $；
   令$\theta = 2x$，则$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos4x}{2}$（降次为一次三角函数，可直接积分）。
3. 拆分积分：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 2x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos4x}{2} dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos4x \, dx$。
4. 分别计算积分：
   - 第一个积分：$\frac{1}{2} \times \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \times (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$；
   - 第二个积分：用逆向链式法则，$\int \cos4x dx = \frac{1}{4}\sin4x + C$，代入上下限：
   $\frac{1}{2} \times \left[ \frac{1}{4}\sin4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{8} \times (\sin\pi - \sin0) = \frac{1}{8} \times (0 - 0) = 0$。
5. 合并结果：$\frac{\pi}{8} + 0 = \frac{\pi}{8}$。

一、解题步骤

(1) R-形式转化

1. 回忆R-形式公式：$a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta - \alpha)$，展开得 $R\sin\theta\cos\alpha - R\cos\theta\sin\alpha$；
2. 对比系数：$f(x) = \sqrt{3}\sin2x - 3\cos2x$，对应得：
   $R\cos\alpha = \sqrt{3}$（$\sin2x$ 系数），$R\sin\alpha = 3$（$\cos2x$ 系数）；
3. 求 $R$：$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$；
4. 求 $\alpha$：$\tan\alpha = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，结合 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，得 $\alpha = \frac{\pi}{3}$；
5. 结果：$f(x) = 2\sqrt{3}\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$。

(2) 求 $g(x)$ 的最小值及对应 $x$

1. 先求 $f(3x)$：$f(3x) = 2\sqrt{3}\sin\left(6x - \frac{\pi}{3}\right)$；
2. 分析 $g(x)$ 的结构：$g(x) = \frac{18}{f(3x) + 4\sqrt{3}}$，分子为正数，分母越小 $g(x)$ 越大，分母越大 $g(x)$ 越小（求最小值需分母最大）；
3. 求分母最大值：$\sin\left(6x - \frac{\pi}{3}\right)$ 的最大值为1，故分母最大值为 $2\sqrt{3}×1 + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$；
4. 计算 $g(x)$ 最小值：$g(x)_{\text{min}} = \frac{18}{6\sqrt{3}} = \sqrt{3}$；
5. 求对应 $x$ 的最小正解：令 $\sin\left(6x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$，则 $6x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），解得 $x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k\pi}{3}$；
6. 取 $k=0$：得最小正解 $x = \frac{5\pi}{36}$。

一、解题步骤

1. 明确角度单位要求：题目含$\pi$，需用RAD模式（若误切DEG模式，结果完全错误）；
2. 回忆特殊角的正弦值：在RAD模式下，$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
3. 结合正弦函数周期性：正弦函数周期为 $2\pi$，在 $[0, 2\pi]$ 内，满足条件的解为 $x = \frac{\pi}{3}$ 和 $x = \frac{2\pi}{3}$；
4. 陷阱验证（DEG模式错误示范）：若切DEG模式，$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解为 $x=60°$ 或 $x=120°$，转化为RAD是 $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$、$\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$，但直接用DEG计算会导致后续与$\pi$相关的运算（如最值、积分）全部出错。

一、解题步骤

1. 我先对幂函数取常用对数：利用运算法则转化：$\log y = \log(ax^n) = \log a + n\log x$，即线性形式$Y = nX + \log a$（对应$Y = MX + C$）。
2. 对比回归方程$Y = 2X + 0.8$：直接匹配参数：斜率$n = 2$（$X$的系数），截距$\log a = 0.8$（常数项）。
3. 还原$a$的值：由$\log a = 0.8$，得$a = 10^{0.8}$（或$\sqrt[5]{10^4}$）。
4. 最终结果：$n = 2$，$a = 10^{0.8}$。

一、解题步骤

(1) 求$a$和$b$

1. 我对指数函数取自然对数：$\ln N = \ln(ab^t) = \ln a + t\ln b$，即线性形式$Z = (\ln b)t + \ln a$。
2. 对比回归方程$Z = 0.3t + 1.2$：斜率$\ln b = 0.3$→$b = e^{0.3}$；截距$\ln a = 1.2$→$a = e^{1.2}$。

(2) 求增长速率$\frac{dN}{dt}$

1. 按"变化率必求导"原则：对$N = e^{1.2} \cdot e^{0.3t}$求导：$\frac{dN}{dt} = 0.3e^{0.3t + 1.2}$。
2. 代入$t=5$计算：$\frac{dN}{dt} = 0.3e^{0.3×5 + 1.2} = 0.3e^{2.7}≈4.5$（万个/小时）。

一、解题步骤

1. 化简对数表达式：我先利用对数运算法则$n\log_a b = \log_a b^n$，将不等式变形为：
   $\log_2(x^2 - 1) - \log_2(x + 1)^2 < 1$；
2. 合并对数项：再用$\log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N}$，合并左边：
   $\log_2\left(\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}\right) < 1$；
3. 因式分解约分：注意到$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，约分后得：
   $\log_2\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) < 1$；
4. 去对数符号：因$\log_2 t$单调递增，转化为代数不等式（真数>0已满足$x>1$）：
   $\frac{x - 1}{x + 1} < 2^1 = 2$；
5. 解分式不等式：移项通分$\frac{x - 1 - 2(x + 1)}{x + 1} < 0 \Rightarrow \frac{-x - 3}{x + 1} < 0$，等价于$\frac{x + 3}{x + 1} > 0$；
6. 结合条件求解：$x>1$时，分子分母均为正，不等式恒成立，故解为$x>1$。

一、解题步骤

1. 拆分函数结构：我将函数看作三个部分乘积$y = u \cdot v \cdot w$，其中$u = x^2$，$v = e^{3x}$，$w = \ln(2x + 1)$，先按"双函数乘积"分步求导；
2. 第一步：设$p = u \cdot v = x^2 e^{3x}$，用乘积法则求$p'$：
   - $u' = 2x$，$v' = 3e^{3x}$（链式法则，内层导数3）；
   - $p' = u'v + uv' = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2)$；
3. 第二步：再对$y = p \cdot w$用乘积法则求$\frac{dy}{dx}$：
   - $w' = \frac{2}{2x + 1}$（链式法则，内层导数2）；
   - $\frac{dy}{dx} = p'w + pw' = e^{3x}(2x + 3x^2)\ln(2x + 1) + x^2 e^{3x} \cdot \frac{2}{2x + 1}$；
4. 提取公因式化简：提出$x e^{3x}$，得：
   $\frac{dy}{dx} = x e^{3x}\left[(2 + 3x)\ln(2x + 1) + \frac{2x}{2x + 1}\right]$。