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P3 第一章：代数方法
Algebraic Methods
攻克分式运算与长除法——P3 考试的"敲门砖"
核心目标：掌握代数分式的化简、假分式转化及长除法。
代数分式的基本运算 (Basic Operations)
乘除法技能点
- 核心：关键在于因式分解 (Factorising)。
- 操作：在相乘/除前，先通过分解分子分母约去公因式。
⚠️ 陷阱提醒
化简如 $\frac{x^2-64}{64-x^2}$ 时，结果应为 $-1$。
假分式 (Improper Fractions) 的识别
定义
分子的最高次数（Degree）大于或等于分母的最高次数时，称为假分式。
转化目标
将其写成 "多项式 + 真分式" 的形式。
判定练习（提问环节）
- $\frac{x^2+1}{x-1}$ 是假分式吗？（是，2 > 1）
- $\frac{x^2}{x^2+1}$ 是假分式吗？（是，2 = 2）
转化技能 A：代数长除法 (Algebraic Long Division)
🚨 必杀技：缺项补零
如果被除数缺少某一次项（如 $2x^3+5$ 缺少 $x^2$ 和 $x$ 项），务必写成 $2x^3 + 0x^2 + 0x + 5$，否则余数必错。
恒等式关系：$F(x) = Q(x) \times \text{divisor} + \text{remainder}$
（$Q$ 为商，$R$ 为余数）
转化技能 B：待定系数法 (Equating Coefficients)
操作步骤
- 根据次数设定目标形式（如 $Ax + B + \frac{Cx+D}{分母}$）。
- 利用恒等式两边展开。
- 通过代入特殊 $x$ 值或对比各项系数解出 $A, B, C, D$。
历年真题实战：四次项处理案例
典型例题
已知 $\frac{4x^4+2x^2+3x+8}{x^2+2} \equiv Ax^2 + B + \frac{Cx+D}{x^2+2}$。
步骤演示
- $4x^4 \div x^2 = 4x^2$。
- 相减后处理余下的项 $-6x^2 + 3x + 8$。
- 最终得出结果：$4x^2 - 6 + \frac{3x+20}{x^2+2}$。
后续衔接：通往积分的桥梁
重要性
本章内容几乎 100% 会引向第七章的积分。
积分转化公式
- 常数 $A$ 积分得 $Ax$。
- 线性分式 $\frac{C}{x-a}$ 积分得 $C\ln|x-a|$。
考点提示
在 2025 年预测题中，证明商和余数的特定系数是解题关键。
考前避坑套路总结
- 看次数排先后：分子次数 $\ge$ 分母次数，二话不说先做长除法。
- 计算器验算大法：
- 代数变形后，在计算器中分别计算原式和结果在 $x=1.5$ 时的值。
- 如果结果一致，说明代数转化正确。
- 精确值要求：严禁使用计算器的小数结果，必须保留分数或根号。
总结与互动
理解比喻
代数变形是积分的"修剪刀"。当碎片长得太奇怪拼不上时，用本章的方法把它们修剪成标准函数形状。
Q&A：检查你的长除法是否补了零？
💡 教学建议：在直播中讲解到代数长除法时，可以手动演示一个"未补零"导致的错误案例，与"补零后"的正确结果做对比，这能极大加深学生对该丢分点的印象。